¿Por qué es incorrecta esta prueba de que todas las interacciones de cuatro fermiones son triviales?

El texto de la teoría cuántica de campos de Schwartz tiene una pregunta interesante que no he resuelto:

Considere una interacción espinora de la forma ψ ¯ ψ ψ ¯ ψ . En la formulación de la integral de trayectoria, los espinores son números de Grassmann, por lo que esta interacción se representaría como algún producto de los números de Grassmann θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 . Sin embargo, dado que los números de Grassmann son anticonmutables, esta cantidad es cero; por lo tanto, la interacción no hace nada en absoluto. ¿Es correcto este argumento?

La conclusión suena descabellada: ¿estas interacciones realmente desaparecen automáticamente? ¿Qué está sucediendo?

Volviendo a tropezar con esto años más tarde, lo que sucede es realmente simple: si la interacción es demasiado grande, no puedes poner todos los fermiones en el mismo lugar para hacerlo debido al principio de exclusión. Para una interacción de fermiones de Dirac de cuatro puntos, necesita al menos dos fermiones de Dirac en el mismo lugar para hacer algo con él (es decir, 2 → 2 dispersión), lo cual es posible ya que, por ejemplo, uno puede girar hacia arriba y el otro puede girar hacia abajo. Incluso es posible una interacción de fermiones de Dirac de ocho puntos (espín hacia arriba, espín hacia abajo y los equivalentes de antipartículas, es decir, los cuatro componentes del espinor). Más que eso es imposible.

Respuestas (2)

El argumento es falso en el espacio de cuatro dimensiones. El error es la suposición de que obtienes un número de Grassman por espinor. De hecho, obtienes un número de Grassman por componente de espinor. En 4d, los espinores tienen múltiples componentes. (Ambos espinores de Weyl tienen 2 componentes y los espinores de Dirac tienen 4).

En el espacio 1d, este es un argumento correcto. En 2d, es correcto para los espinores de Weyl, pero falso para los espinores de Dirac.

La razón por la que tu lógica falla es porque ψ no es simplemente una variable de Grassmann; es un vector de cuatro componentes de números complejos de Grassmann (en cuatro dimensiones):

ψ = ( θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 )
Con este conocimiento, intente calcular ψ ¯ ψ ψ ¯ ψ y mostrar que no se desvanece genéricamente. Bono: ¿qué hay de ( ψ ¯ ψ ) 5 ?

¡perfecto gracias! Todavía estoy confundido en un punto. Antes pensaba que los espinores eran elementos de un álgebra de Grassmann de 4 dimensiones, con una dimensión para cada componente del espinor. Su respuesta dice que hay un número de Grasssmann separado para cada componente del espinor e implica que todavía estamos en un álgebra de Grassmann de 4 dimensiones, ya que ( ψ ¯ ψ ) 5 desaparece
si los vectores base de Grassmann no corresponden a los componentes del espinor, ¿por qué hay 4 de ellos?
@KevinZhou ¿Por qué dice que la base de Grassmann no corresponde a los componentes del espinor? Recuerde las relaciones canónicas de anticonmutación para fermiones. Para campos clásicos (la integral de trayectoria se integra sobre configuraciones de campo clásicas) todos los anticonmutadores desaparecen. Entonces, en 4 dimensiones espaciales, un espinor de Dirac tiene 4 componentes de espinor anticonmutantes, por lo tanto, un álgebra de Grassmann compleja de 4 dimensiones.
¿Por qué es incorrecta esta prueba de que todas las interacciones de cuatro fermiones son triviales?
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