Una simple pregunta sobre la amplitud de dispersión MM\mathcal{M} en QFT

Sí: la amplitud de dispersión es un escalar de Lorentz.

Los índices de Spinor no están flotando. Ellos también están contratados. No se muestran explícitamente para despejar la notación. En general, todos los índices suprimidos se contraen. La convención estándar es que uno suprime tantos índices como sea posible siempre que la expresión no sea ambigua. En ocasiones, solo se muestran explícitamente los índices vectoriales, pero principalmente por razones históricas. Uno podría suprimirlos también.

En este sentido, una expresión de la forma

$$\bar u\gamma v\ \bar v\gamma u$$ es una notación abreviada para $$\bar u\gamma^\mu v\ \bar v\gamma_\mu u$$ que es en sí misma una notación abreviada para $$\bar u_a\gamma^\mu_{ab} v_b\ \bar v_c\gamma_{\mu cd} u_d$$ que es en sí misma una notación abreviada para $$\sum_{abcd\mu}\bar u_a\gamma^\mu_{ab} v_b\ \bar v_c\gamma_{\mu cd} u_d$$ etc.

Debe quedar claro que se prefiere la primera expresión: contiene toda la información relevante, de la manera más concisa posible.

Si quiere jugar con los índices de espinor para ganar algo de confianza, consulte Srednicki, Parte II (Girar una mitad). Lea tantos capítulos como sea posible/necesario. Puede encontrar una copia gratuita en su página web .

Todos los índices de Lorentz se suman, pero es más sutil de lo que piensas. La amplitud para partículas de helicidad/giro mayor que cero no es un escalar. La razón de esto es que las polarizaciones/espinores externos se transforman bajo el pequeño grupo (transformaciones de Lorentz que dejan los momentos invariantes).

Por ejemplo, las amplitudes de dispersión de gluones en cuatro dimensiones se transforman bajo la$U(1)$pequeño grupo de partículas sin masa como

$$\mathcal{M} \rightarrow e^{-2i\theta \sum_i h_i}\mathcal{M}\,,$$ dónde $h_i$es la helicidad de cada partícula. Para obtener más detalles, consulte el capítulo 2.5 del QFT I de Weinberg o la sección 2.6 de esta revisión para obtener una perspectiva más moderna.