¿Por qué dos espinores diferentes son cantidades de Grassmann?

En Rydberg Quantum Field Theory, página 441 ( esta edición , desafortunadamente, la página 441 no está en el enlace) dice

Si ξ y η son espinores de Majorana [...] y desde ξ y η son cantidades de Grassmann,

ξ i ∗ η j ∗ = − η j ∗ ξ i ∗

Sé que las cantidades de Grassmann obedecen al álgebra de Grassmann, es decir { ξ i , η j } = 0 . Pero, ¿por qué dos campos de espinores diferentes obedecen a esta álgebra?

Por lo que entendí, dos campos de espinor ξ y η obedecer las relaciones de anticonmutación entre cada uno y su conjugado, { ξ i ( X → , t ) , ξ j ( y → , t ) } = d i j d 3 ( X → − y → ) y lo mismo para η . Pero en este caso tenemos dos campos diferentes ξ y η que no son conjugados entre sí. Entonces, ¿por qué tienen que satisfacer este álgebra de Grassmann?

Por ejemplo, en QED hay dos campos ψ y A m y cada uno tiene su relación de conmutación/anticonmutación con su propio conjugado (en el caso de A m consigo mismo). Pero no hay ninguna relación entre ψ (o ψ ¯ ) y A m , son campos diferentes. Quiero decir [ ψ , A m ] = { ψ , A m } = 0 y lo mismo para ψ ¯ .

No, todos los campos de spinor son anticonmutadores. ¿Por qué crees que algunos anticonmutan y otros no?
Los espinores (o, para el caso, cualquier representación de un grupo) se pueden definir tanto en campos de conmutación como de anticonmutación. Cualquiera de las dos opciones está bien, pero hay que ser coherente: no tiene sentido tener ξ siendo a veces un C -número, y a veces un a -número. Una vez que declaras que es un a -Número, tienes que apegarte a esa elección. Y a -números anti-conmutación entre sí: tanto consigo mismos como con otros a -números.
Buena pregunta. Una razón física para imponer relaciones de anticonmutación en los espinores es garantizar que la energía de un sistema esté limitada desde abajo, de lo contrario, el vacío/partículas podrían seguir produciendo materia incesantemente (sin violar la conservación de la energía) y desestabilizar el sistema. Pero, por supuesto, no observamos esto en el mundo real.
Mi duda es por qué dos campos diferentes, al no estar relacionados entre sí por ninguna operación de conjugación, tienen que cumplir estas condiciones. Es lo mismo que en la mecánica cuántica no relativista, las relaciones de conmutación son para X y pag X que son uno el conjugado del otro, pero X y pag y no tienen nada que hacer entre ellos. Pensé lo mismo sobre los campos, ξ y ξ ¯ deben satisfacer las condiciones de anticonmutación (porque son un par conjugado), pero ¿por qué ξ y η ? Es lo mismo que decir que en QED ψ tiene que viajar/antitrabajar con A m ...
Para que su pregunta tenga sentido, debe encontrar el producto de espinores "independientes" en cálculos reales. Es posible si los fermiones correspondientes interactúan, por lo que los espinores no son realmente independientes después de todo. De lo contrario (nunca interactuando con fermiones), ambas opciones nunca aparecen en cálculos significativos.

Respuestas (1)

La pregunta del título de OP (v3) dice:

¿Por qué dos espinores diferentes son cantidades de Grassmann?

Interpretamos esto como preguntando por qué los espinores independientes se oponen al trabajo. Aquí hay una línea de razonamiento:

  1. Un supernúmero general z = z 0 + z 1 tiene una componente par de Grassmann y una impar de Grassmann, z 0 y z 1 , respectivamente.

  2. z 0 y z 1 son supernúmeros de paridad de Grassmann definida, | z 0 | = 0 y | z 1 | = 1 , respectivamente.

  3. Un supernúmero impar de Grassmann z con | z | = 1 cuadrados a cero: z 2 = 0 .

  4. una suma z + w de dos supernúmeros impares de Grassmann z y w sigue siendo un supernúmero impar de Grassmann. Por lo tanto, es cuadrado a cero

    0   =   ( z + w ) 2   =   z 2 ⏟ = 0 + z w + w z + w 2 ⏟ = 0   =   z w + w z .
    Por lo tanto, dos supernúmeros impares de Grassmann z y w anticonmutación, cf. La pregunta de OP.

  5. Más generalmente, dos supernúmeros z y w de superconmutación de paridad definitiva de Grassmann:

    [ z , w ] S   :=   z w − ( − ) | z | | w | w z   =   0 ,
    dónde [ ⋅ , ⋅ ] S denota el superconmutador. En otras palabras, el superconmutador [ z , w ] S = 0 es cero

  6. Cuando reemplazamos los supernúmeros con dos superoperadores z ^ y w ^ de paridad definida de Grassmann, es decir, pasar de la teoría clásica a la cuántica, el superconmutador

    [ z ^ , w ^ ] S   =   O ( ℏ )
    puede adquirir términos distintos de cero en los primeros (y superiores) órdenes en la constante de Planck ℏ .

Pero, ¿por qué los espinores son supernúmeros? ¿No son los componentes solo números complejos y, por lo tanto, conmutan?
Esa es una pregunta diferente, que se discute en esta publicación de Phys.SE.
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