¿Cómo funciona la cuantización canónica con variables de Grassmann?

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¿Cómo funciona la cuantización canónica con variables de Grassmann?

Física
espinores
ecuación de dirac
Grassmann-números
teoría cuántica de campos
teoría clásica del campo

knzhou

Todos los libros de texto de teoría cuántica de campos que he encontrado parecen tener la misma supervisión lógica, debido al orden particular en que cubren los temas.

Primero, los libros introducen el Lagrangiano de Dirac,

L = \bar{ψ} (i ∂̸ - metro) ψ .

$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i \not\partial - m) \psi.$ Para calcular el momento canónico, notamos que

L \supset ψ^{†} γ^{0} (i \partial_{0} γ^{0} ψ) = i ψ^{†} \dot{ψ}

$\mathcal{L} \supset \psi^\dagger \gamma^0 (i \partial_0 \gamma^0 \psi) = i \psi^\dagger \dot{\psi}$ en su mayoría firma negativa. Por lo tanto, el momento canónico es

\frac{\partial L}{\partial \dot{ψ}} = i ψ^{†} .

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = i \psi^\dagger.$ Luego se pasa a realizar la cuantificación canónica.

Posteriormente, los libros introducen el Majorana Lagrangian, que en Peskin y Schroeder (problema 3.4) tiene la forma

L = x^{†} i \bar{σ} \cdot \partial x + \frac{i metro}{2} (x^{T} σ^{2} x - x^{†} σ^{2} x^{*}) .

$\mathcal{L} = \chi^\dagger i \bar{\sigma} \cdot \partial \chi + \frac{im}{2} (\chi^T \sigma^2 \chi - \chi^\dagger \sigma^2 \chi^*).$ El término de masa de Majorana se desvanece en el nivel clásico porque

σ^{2}

$\sigma^2$ es una matriz antisimétrica. La única salida es postular que el espinor de dos componentes

χ

$\chi$ es realmente una variable de Grassmann, por lo que los dos términos en el término de masa tienen el mismo signo después de la anticonmutación. Se suele afirmar que, en general, todo espinor en un Lagrangiano clásico tiene que ser un número de Grassmann.

Sin embargo, esto contradice el tratamiento anterior del Dirac Lagrangiano. si tratamos $\psi$ como un número de Grassmann, luego obtenemos un signo al anticonmutar la derivada de Grassmann, por lo que

\frac{\partial L}{\partial \dot{ψ}} = \frac{\partial}{\partial \dot{ψ}} (i ψ^{†} \dot{ψ}) = - i ψ^{†} \frac{\partial}{\partial \dot{ψ}} \dot{ψ} = - i ψ^{†} .

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} (i \psi^\dagger \dot{\psi}) = - i \psi^\dagger \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} \dot{\psi} = - i \psi^\dagger.$ Este signo negativo adicional cambia por completo el resultado de la cuantización canónica, por ejemplo, conduce a una energía definida negativa desastrosa. El mismo problema parece ocurrir en el problema 3.4 de Peskin. Si uno explica correctamente el cambio de signo de Grassmann al realizar la cuantización canónica, entonces llega a relaciones de anticonmutación que son opuestas a las dadas en el problema.

He buscado en una pila de libros de texto de teoría cuántica de campos y, lamentablemente, ninguno de ellos menciona esta aparente inconsistencia, porque todos cubren el Majorana Lagrangian (y los números de Grassmann) después de haber terminado el Dirac Lagrangian, por lo que no hay oportunidad de que surja este problema. Se podría evitar este problema diciendo que los números de Grassmann solo aparecen en la integral de trayectoria, pero luego se vuelve imposible cuantizar canónicamente la teoría de Majorana porque el término de masa desaparece, lo que parece aún peor. ¿Que está pasando aqui?

Lúthien

Creo que tengo una respuesta a su pregunta, pero solo para aclarar: su problema es el hecho de que, si el

ψ

$\psi$ son números de Grassmann, entonces para el impulso

Π

$\Pi$ puedes obtener cualquiera

Π = i \bar{ψ}

$\Pi=i\bar{\psi}$ o

Π = - i \bar{ψ}

$\Pi=-i\bar{\psi}$ en el lagrangiano de Dirac? (y, en consecuencia, te encuentras con el mismo problema en el Majorana)

knzhou

@Luthien Sí, ingenuamente me parece que obtenemos lo último, pero necesitamos lo primero.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/186952/2451 , physics.stackexchange.com/q/43502/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

¿Cómo funciona la cuantización canónica con variables de Grassmann?

Creo que tengo una respuesta a su pregunta, pero solo para aclarar: su problema es el hecho de que, si el $\psi$ son números de Grassmann, entonces para el impulso $\Pi$ puedes obtener cualquiera $\Pi=i\bar{\psi}$ o $\Pi=-i\bar{\psi}$ en el lagrangiano de Dirac? (y, en consecuencia, te encuentras con el mismo problema en el Majorana)
@Luthien Sí, ingenuamente me parece que obtenemos lo último, pero necesitamos lo primero.
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/186952/2451 , physics.stackexchange.com/q/43502/2451 y enlaces allí.

Lúthien · Answer 1

Cuando se trata de números de Grassmann, tiene una "derivada izquierda" y una derivada "derecha". Una derivada por la izquierda elimina la variable de la izquierda, una derivada por la derecha la elimina de la derecha.

Digamos que tenemos la función:

F (θ_{1}, θ_{2}) = F_{0} + F_{1} θ_{1} + F_{2} θ_{2} + F_{3} θ_{1} θ_{2}

$\begin{equation} f(\theta_1, \theta_2)=f_0+f_1\theta_1+f_2\theta_2+f_3\theta_1\theta_2 \end{equation}$ Entonces la derivada por la izquierda con respecto a

θ_{1}

$\theta_1$ es

\frac{\partial_{L} F}{\partial θ_{1}} = F_{1} + F_{3} θ_{2}

$\begin{equation} \frac{\partial_L f}{\partial\theta_1}=f_1+f_3\theta_2 \end{equation}$ mientras que la derivada por la derecha con respecto a

θ_{1}

$\theta_1$ es

\frac{\partial_{R} F}{\partial θ_{1}} = F_{1} - F_{3} θ_{2}

$\begin{equation} \frac{\partial_R f}{\partial\theta_1}=f_1-f_3\theta_2 \end{equation}$

Cuando define los momentos conjugados, puede usar derivadas izquierda o derecha, pero debe realizar un seguimiento de su elección cuando realiza una transformación de Legendre para obtener el hamiltoniano. Si define el impulso con derivadas por la izquierda, es decir, como

Π = \frac{\partial_{L} L}{\partial \dot{θ}}

$\begin{equation} \Pi=\frac{\partial_L L}{\partial\dot{\theta}} \end{equation}$ entonces el hamiltoniano canónico tiene que ser

H = \dot{θ} Π - L

$\begin{equation} H=\dot{\theta}\Pi-L \end{equation}$ (puede ver fácilmente que es consistente con la definición de momento con derivadas por la izquierda) y NO

H = Π \dot{θ} - L

$\begin{equation} H=\Pi\dot{\theta}-L \end{equation}$ (que habría funcionado si hubiéramos definido el momento con derivadas correctas) como podemos estar tentados de escribir.

Si entendí correctamente, esta "ambigüedad de signo" en la definición de impulso fue su problema y esto debería resolverlo.

¿Tiene una referencia (libro/notas de clase) donde se traten temas como este con más detalle?
Me alegro de poder ayudar :) Personalmente, estudié el fromalismo de Grassmann en "Cuantización de sistemas de calibre" por Henneaux y Teitelboim

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