Tratar con un término no constante en la pregunta del teorema del binomio

Question

Tratar con un término no constante en la pregunta del teorema del binomio

suma
Matemáticas
teorema del binomio
secuencias y series

Repartidor de hielo

Me pregunto esto. Supongamos que tengo una secuencia $\{\varepsilon_n\}_{n=0}^\infty$ y los elementos de esta secuencia son parte de una expresión de tipo binomial: Por ejemplo, mi expresión es

\sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k}

$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}$

Si supiera, por ejemplo, que la expresión es igual a 1, entonces sabría que $\varepsilon_n=(-1)^n$ porque

\sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k} = 1 = 1^{norte} = [2 + (- 1)]^{norte} = \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) (- 1)^{k} 2^{norte - k}

$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}=1=1^n=[2+(-1)]^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k2^{n-k}$

Estoy casi seguro de que la respuesta es "no", pero aquí está. ¿Hay alguna manera de simplificar una expresión como la mía como

(2 + X)^{norte} = \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k}

$(2+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}$ cuando los términos en la expansión no son constantes como

x

$x$ elevado a potencias pero los elementos correspondientes indexados apropiadamente?

pedro m

Estoy un poco confundido.

ε_{k}

$\varepsilon_k$ necesita depender de

x

$x$ , pero por otro lado no quieres

ε_{k} (x) = x^{k}

$\varepsilon_k(x) = x^k$ ? ¿Qué tipo de respuesta estás buscando? Tenga en cuenta que su ejemplo anterior de la expresión siempre

1

$1$ es un caso particular estableciendo

x = - 1

$x = -1$ : y mira, tienes exactamente

ε_{k} = x^{k} = (- 1)^{k}

$\varepsilon_k = x^k = (-1)^k$ !

Elaqqad

No hay ninguna simplificación si no sabemos nada sobre su

ϵ_{n}

$\epsilon_n$ , si tienes una secuencia particular

ϵ_{k}

$\epsilon_k$ puedes averiguar cómo puedes simplificarlo si no lo haces no se puede simplificar es lo mismo que preguntar si tenemos

1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2}

$1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$ entonces que seria

ϵ_{1} + \dots + ϵ_{k}

$\epsilon_1+\cdots+\epsilon_k$ ? si no sabes nada sobre la secuencia entonces no puedes simplificarla

Repartidor de hielo

@Elaqqad, ese también fue mi pensamiento. no estaba seguro El

ε_{k}

$\varepsilon_k$ son generados por una suma binomial complicada, pero a partir de ahora, ahora en forma cerrada y, por lo tanto, no hay una forma agradable de escribirlos. Solo pensé en lanzar la pregunta... nunca se sabe si hay algo o alguien que tiene un truco bajo la manga.

Repartidor de hielo

@PedroM., actualmente tengo la ecuación

1 + \sum_{k = 0}^{norte - norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - 1 - k} = \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k}

$1+\sum_{k=0}^{n-N}\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}$ . Esto genera particular

ε_{n}

$\varepsilon_n$ cuando

n \geq N

$n\ge N$ , dónde

N \in N

$N\in\mathbb{N}$ . Si

n < N, ε_{n} = (- 1)^{n}

$n<N, \varepsilon_n=(-1)^n$ .

pedro m

En tu ecuación anterior,

N

$N$ es un entero positivo fijo y la ecuación se cumple para cada valor de

n \in N

$n \in \mathbb{N}$ ? O la ecuación se cumple para un determinado

n \in N

$n \in \mathbb{N}$ ?

Repartidor de hielo

Para la ecuación, N es fijo y se cumple para cada valor de

n > N

$n>N$

Respuestas (1)

Tratar con un término no constante en la pregunta del teorema del binomio

Estoy un poco confundido. $\varepsilon_k$ necesita depender de $x$ , pero por otro lado no quieres $\varepsilon_k(x) = x^k$ ? ¿Qué tipo de respuesta estás buscando? Tenga en cuenta que su ejemplo anterior de la expresión siempre $1$ es un caso particular estableciendo $x = -1$ : y mira, tienes exactamente $\varepsilon_k = x^k = (-1)^k$ !
No hay ninguna simplificación si no sabemos nada sobre su $\epsilon_n$ , si tienes una secuencia particular $\epsilon_k$ puedes averiguar cómo puedes simplificarlo si no lo haces no se puede simplificar es lo mismo que preguntar si tenemos $1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$ entonces que seria $\epsilon_1+\cdots+\epsilon_k$ ? si no sabes nada sobre la secuencia entonces no puedes simplificarla
@Elaqqad, ese también fue mi pensamiento. no estaba seguro El $\varepsilon_k$ son generados por una suma binomial complicada, pero a partir de ahora, ahora en forma cerrada y, por lo tanto, no hay una forma agradable de escribirlos. Solo pensé en lanzar la pregunta... nunca se sabe si hay algo o alguien que tiene un truco bajo la manga.
@PedroM., actualmente tengo la ecuación $1 + \sum_{k = 0}^{norte - norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - 1 - k} = \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k}$ $1+\sum_{k=0}^{n-N}\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}$ . Esto genera particular $\varepsilon_n$ cuando $n\ge N$ , dónde $N\in\mathbb{N}$ . Si $n<N, \varepsilon_n=(-1)^n$ .
En tu ecuación anterior, $N$ es un entero positivo fijo y la ecuación se cumple para cada valor de $n \in \mathbb{N}$ ? O la ecuación se cumple para un determinado $n \in \mathbb{N}$ ?
Para la ecuación, N es fijo y se cumple para cada valor de $n>N$

epi163sqrt · Answer 1

Tenga en cuenta que la siguiente declaración no es válida .

Si supiera, por ejemplo, que la expresión era igual a $1$ , entonces sabría que $\varepsilon_n=(-1)^n$ porque

\begin{aligned} (1) & \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k} = 1 = 1^{norte} = [2 + (- 1)]^{norte} = \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) (- 1)^{k} 2^{norte - k} \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}=1=1^n=[2+(-1)]^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k2^{n-k}\tag{1} \end{align*}$

el conocimiento que $(-1)^k$ con $0\leq k \leq n$ en el RHS de (1) dar
$\begin{aligned} (2) & \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) (- 1)^{k} 2^{norte - k} = 1 \end{aligned}$ $\begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k2^{n-k}=1\tag{2} \end{align*}$ no es suficiente para concluir que $\begin{aligned} (3) & \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k} = 1 \end{aligned}$ $\begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}=1\tag{3} \end{align*}$ ya implica $\varepsilon_k=(-1)^k$ para todos $k$ .

De hecho, el LHS de 3 tiene $n+1$ parámetro libre $\varepsilon_k$ . Entonces, podrías poner $\varepsilon_0$ a $\varepsilon_{n-1}$ a lo que quieras que deberían ser. de lo que puedes tomar
$ε_{norte} = 1 - \sum_{k = 0}^{norte - 1} (\binom{norte}{k}) ε_{k} 2^{norte - k}$ $\varepsilon_n=1-\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\varepsilon_k2^{n-k}$ y se cumple la ecuación (1).

Conclusión: Una simplificación de la suma (3) en el caso general (arbitrario $\varepsilon_k, 0\leq k \leq n-1$ ) no es alcanzable.

Tratar con un término no constante en la pregunta del teorema del binomio

Repartidor de hielo

pedro m

Elaqqad

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pedro m

Repartidor de hielo

Respuestas (1)

epi163sqrt

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

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