Suma de expansión binomial con factores multiplicativos

Question

Suma de expansión binomial con factores multiplicativos

suma
Matemáticas
teorema del binomio
coeficientes binomiales

Samik

Considere la siguiente suma:

\sum_{k = 0}^{norte} k (\binom{norte}{k}) (1 - pag)^{norte - k} {pag}^{k}

$\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}(1-p)^{n-k}p^k$

Si el $k$ término no estuviera presente sería un binomio simple. Sin embargo, debido a la $k$ término no puedo derivar la suma.

Creo que la suma debe ser igual a $np$ (La suma es parte de una expresión más grande, que al resolver usando un enfoque diferente da el $np$ resultado). He probado esto para valores más pequeños de $n = \{1,2,3\}$ .

Respuestas (2)

Suma de expansión binomial con factores multiplicativos

roberto z · Answer 1

Recuerda que para $k\geq 1$ , $\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ y por lo tanto la suma se puede evaluar como un binomio simple :

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{norte} k (\binom{norte}{k}) (1 - pag)^{norte - k} {pag}^{k} & = norte pag \sum_{k = 1}^{norte} (\binom{norte - 1}{k - 1}) (1 - pag)^{norte - 1 - (k - 1)} {pag}^{k - 1} \\ = norte pag ((1 - pag) + pag)^{norte - 1} = norte pag . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}(1-p)^{n-k}p^k &=np\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}p^{k-1}\\ &=np((1-p)+p)^{n-1}=np. \end{align}$ En la misma línea mostramos la identidad más general:

\sum_{k = 0}^{norte} k (k - 1) \dots (k - j) (\binom{norte}{k}) (1 - pag)^{norte - k} {pag}^{k} = norte (norte - 1) \dots (norte - j) {pag}^{j + 1} .

$\sum_{k=0}^n k(k-1)\cdots (k-j)\binom{n}{k}(1-p)^{n-k}p^k =n(n-1)\cdots (n-j)p^{j+1}.$

roberto israel · Answer 2

Su expresión es la media de una variable aleatoria binomial con parámetros $n$ y $p$ . Esto es bien conocido por ser $np$ .

Suma de expansión binomial con factores multiplicativos

Samik

Respuestas (2)

roberto z

roberto z

roberto israel

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Una suma binomial: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

Sobre la regla generalizada de Leibniz

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Prueba combinatoria del teorema factorial y binomial descendente

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Tratar con un término no constante en la pregunta del teorema del binomio