ayuda con la suma de series infinitas, atascado en el problema

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ayuda con la suma de series infinitas, atascado en el problema

suma
Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

tarde347

la serie en el problema es la siguiente, y nos gustaría ver si la serie converge, y cuál es la suma de series infinitas:

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{2^{norte + 1} + 1}{3^{norte}}

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}+1}{3^n}$

Es un problema de tarea, pero ya le pregunté a mi maestro sobre eso en la escuela y realmente no me ayudó mucho.

Los problemas anteriores que tuvimos fueron más fáciles que este, porque no puedo encontrar la razón común para esta serie infinita (las series geométricas infinitas deben tener una razón común, y cuando la sabes, puedes saber si hay convergencia)

Leí en línea después de clase, que lo que debo hacer es encontrar el límite de la secuencia de sumas parciales. Este límite, si existe y es un número real, debe ser el valor de la suma de la serie infinita.

Tiene sentido conceptualmente cuando tienes un gran valor de k, para una serie finita $S_{k}$ , cuando k se vuelve más grande, la suma finita se vuelve cada vez más como la suma de series infinitas.

Entonces si tengo sumas parciales en una secuencia $S_{1}, S_{2}, S_{3}...S_{k}$ Cuanto mayor sea k, mejor representará series infinitas, suponiendo que converja hacia cualquier cosa.

Me las arreglé para poner algunos valores grandes de n, en wolframio alfa y la respuesta correcta parece ser que la serie infinita converge y la suma de la serie infinita es 4.5

Pero no tengo una idea sólida de cómo podría encontrar la fórmula explícita para la secuencia de sumas parciales para esta serie infinita en particular. Y particularmente no tengo ninguna otra buena idea de cómo probar que la suma de series infinitas debería ser 4.5 en este caso...

Respuestas (3)

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jose carlos santos · Answer 1

Tenga en cuenta que

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{2^{norte + 1} + 1}{3^{norte}} = 2 \sum_{norte = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{norte} + \sum_{norte = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{norte} .

$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{n+1}+1}{3^n}=2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac23\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac13\right)^n.$ ¿Puedes tomarlo desde aquí?

¿Puede aclarar de dónde saca la idea de dividir la serie de esa manera? No soy muy bueno con las reglas de cálculo de las sumas (sigma)... De hecho, solo estudié realmente sobre series infinitas la semana pasada. Quiero decir, ¿existen algunas fórmulas algebraicas para la manipulación de sumas como esa?
@ Late347 Sí: si ambas series $\sum_{n=1}^\infty a_n$ y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ convergen, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)$ converge también y su suma es la suma de las dos series originales.

usuario · Answer 2

Puedes dividir la suma y usar

\sum_{norte = 1}^{\infty} r^{norte} = \frac{r}{1 - r}

$\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\frac{r}{1-r}$

xander henderson · Answer 3

Después de 20 años, todavía tengo que volver a derivar la identidad.

\begin{matrix} (1) & \sum_{norte = 1}^{\infty} α^{norte} = \frac{α}{1 - α} \end{matrix}

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha^n = \frac{\alpha}{1-\alpha} \tag{1}$ cada vez que lo necesito. Ya que no es tan difícil, tal vez deberíamos hacer eso primero.

Suponer que $|\alpha| < 1$ , y deja

S_{k} := \sum_{norte = 1}^{k} α^{k} = α + α^{2} + \dots + α^{k}

$S_k := \sum_{n=1}^{k} \alpha^k = \alpha + \alpha^2 + \dotsb + \alpha^{k}$ ser el

k

$k$ -ésima suma parcial. Entonces

α S_{k} = \sum_{norte = 1}^{k} α^{k + 1} = α^{2} + α^{3} + \dots + α^{k + 1} .

$\alpha S_k = \sum_{n=1}^{k} \alpha^{k+1} = \alpha^2 + \alpha^3 + \dotsb + \alpha^{k+1}.$ Restando, obtenemos

\begin{aligned} (1 - α) S_{k} & = S_{k} - α S_{k} \\ = (α + α^{2} + \dots + α^{k}) - (α^{2} + α^{3} + \dots + α^{k + 1}) \\ = α + (α^{2} - α^{2}) + (α^{3} - α^{3}) + \dots + (α^{k} - α^{k}) - α^{k + 1} \\ = α - α^{k + 1} . \end{aligned}

$\begin{align} (1-\alpha) S_k &= S_k - \alpha S_k \\ &= \left( \alpha + \alpha^2 + \dotsb + \alpha^{k} \right) - \left( \alpha^2 + \alpha^3 + \dotsb + \alpha^{k+1} \right) \\ &= \alpha + \left( \alpha^2 - \alpha^2\right) + \left( \alpha^3 - \alpha^3\right) + \dotsb + \left(\alpha^k - \alpha^k\right) - \alpha^{k+1} \\ &= \alpha - \alpha^{k+1}. \end{align}$ Resolviendo para

S_{k}

$S_k$ , obtenemos

S_{k} = \frac{α - α^{k + 1}}{1 - α} .

$S_k = \frac{\alpha - \alpha^{k+1}}{1-\alpha}.$ Desde

| α | < 1

$|\alpha| < 1$ , resulta que

lim_{k \to \infty} α^{k + 1} = 0

$\lim_{k\to\infty} \alpha^{k+1} = 0$ , y entonces

\sum_{norte = 1}^{\infty} α^{norte} := \underset{k \to \infty}{límite} \sum_{norte = 1}^{k} α^{norte} = \underset{k \to \infty}{límite} \frac{α - α^{k + 1}}{1 - α} = \frac{α}{1 - α} .

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha^n := \lim_{k\to \infty} \sum_{n=1}^{k} \alpha^n = \lim_{k\to\infty} \frac{\alpha - \alpha^{k+1}}{1-\alpha} = \frac{\alpha}{1-\alpha}.$ Pero esta es exactamente la identidad en (1). ¡Hurra!

Ahora, ¿cómo usamos esto aquí?

Observa eso

\begin{matrix} (2) & \frac{2^{norte + 1} + 1}{3^{norte}} = \frac{2^{norte + 1}}{3^{norte}} + \frac{1}{3^{norte}} = 2 {(\frac{2}{3})}^{norte} + {(\frac{1}{3})}^{norte} . \end{matrix}

$\frac{2^{n+1} + 1}{3^n} = \frac{2^{n+1}}{3^n} + \frac{1}{3^n} = 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n. \tag{2}$ Pero las series son lineales , por lo que juegan bien con la suma y la multiplicación. Específicamente, si

\sum a_{n}

$\sum a_n$ y

\sum b_{n}

$\sum b_n$ converger, y

C

$C$ es cualquier constante, entonces tenemos

\sum_{norte = 1}^{\infty} [a_{norte} + b_{norte}] = \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} + \sum_{norte = 1}^{\infty} b_{norte} y \sum_{norte = 1}^{\infty} C a_{norte} = C \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} .

$\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n + b_n \right] = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \qquad\text{and}\qquad \sum_{n=1}^{\infty} Ca_n = C \sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Estas son reglas básicas para "simplificar" series, que te van a ser muy útiles. Si está familiarizado con la integración, puede realizar exactamente estas manipulaciones si reemplaza el

\sum

$\sum$ con

\int

$\int$ , y las secuencias con funciones. Si no está familiarizado con la integración, ignore este comentario por ahora, pero tal vez lo tenga en mente para más adelante.

\begin{aligned} \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{2^{norte + 1} + 1}{3^{norte}} & = \sum_{norte = 1}^{\infty} [2 {(\frac{2}{3})}^{norte} + {(\frac{1}{3})}^{norte}] & (por aplicación de (2)) \\ = 2 \sum_{norte = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{norte} + \sum_{norte = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{norte} & (simplificar la serie) \\ = 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} & (por aplicación de (1)) \\ = 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} & (aritmética tonta y pedante) \\ = 2 \cdot \frac{2}{3 - 2} + \frac{1}{3 - 1} & (aritmética más pedante) \\ = \frac{4}{1} + \frac{1}{2} & (y algo más) \\ = \frac{8 + 1}{2} & (casi llegamos) \\ = \frac{9}{2} . & (¡hecho!) \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1} + 1}{3^n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n \right] && (\text{by application of (2)}) \\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n && (\text{simplify the series}) \\ &= 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} + \frac{\frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}} && (\text{by application of (1)}) \\ &= 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}\cdot \frac{3}{3} + \frac{\frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}}\cdot \frac{3}{3} && (\text{silly, pedantic arithmetic}) \\ &= 2 \cdot \frac{2}{3-2} + \frac{1}{3-1} && (\text{more pedantic arithmetic}) \\ &= \frac{4}{1} + \frac{1}{2} && (\text{and some more}) \\ &= \frac{8+1}{2} && (\text{almost there}) \\ &= \frac{9}{2}. && (\text{done!}) \end{align}$

Parece muy comprensible ahora, anoté mi propia versión en un papel aquí en mi escritorio. Mis preocupaciones y otra pregunta son más sobre la justificación de dividir la Serie en dos series separadas... ¿No tiene que haber la suposición de que la serie original combinada tiene que ser convergente para empezar antes de manipularla? $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}+1}{3^n}$
EDITAR Solo quería asegurarme, porque no quiero cometer errores tontos con la serie infinita ... Todavía tengo un mal sabor de boca después de haber visto el video de numberphile sobre la suma de series infinitas divergentes entre sí. (el video se puede encontrar en youtube con "1+2+3... = -1/12")
La justificación entra por la puerta de atrás. Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ son convergentes, entonces $\sum (a_n + b_n)$ converge, y $\sum (a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n$ . En el argumento anterior, descomponemos una serie de la forma $\sum (a_n + b_n)$ en dos series convergentes diferentes $\sum a_n$ y $\sum b_n$ , luego use el hecho de que ambos convergen para mostrar que la serie original converge.
Por otro lado, si todo lo que necesita saber es que la serie original converge (y esto podría calmar su conciencia con respecto a esta suposición), puede notar que $2^{n+1} + 1 < 2^{n+2}$ para todos $n$ , y $\sum \frac{2^{n+2}}{3^n}$ es una serie geométrica convergente. Pero entonces $0 < \sum \frac{2^{norte + 1} + 1}{3^{norte}} \leq \sum \frac{2^{norte + 2}}{3^{norte}} < \infty,$ $0 < \sum \frac{2^{n+1}+1}{3^n} \le \sum \frac{2^{n+2}}{3^n} < \infty,$ lo que demuestra que la serie original, de hecho, converge.

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Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

¿Es la prueba integral necesaria y suficiente para la convergencia?

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∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Encuentre la forma cerrada de una suma n

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Prueba de comparación de límites para verificar la convergencia de una serie infinita