Transformaciones de Lorentz que involucran dos dimensiones del espacio

Ya que estás tratando de entender, te mostraré cómo resolverlo, en lugar de solo decirte la respuesta. No necesitas saber qué es una matriz, y no necesitas trigonometría. El álgebra es suficiente.

Para evitar distracciones poco esclarecedoras, usaré unidades en las que la velocidad de la luz es$c=1$. Si desea restaurar factores de$c$, simplemente reemplace cada$t$en las siguientes ecuaciones con$ct$. Una transformación de Lorentz sobre el origen es una transformación lineal que deja la cantidad

$$t^2-(x^2+y^2+z^2) \tag{1}$$ sin alterar. Mostraré un par de ejemplos y mostraré cómo combinarlos para generar más ejemplos, incluido el que solicitó.

Rotación ordinaria

Un ejemplo de una transformación de Lorentz es una rotación ordinaria que mezcla dos coordenadas espaciales:

$$\begin{align} t &\to t\\ x &\to ax-by \\ y &\to bx+ay \\ z &\to z \tag{2} \end{align}$$ con $$a^2+b^2=1 \tag{3}$$ La ecuación (3) es lo mismo que decir$a=\cos\theta$y$b=\sin\theta$para algunos$\theta$, pero no necesitamos saber eso. Usando (3), puede confirmar que el reemplazo (2) deja (1) sin cambios: $$t^2-\big((ax-by)^2+(bx+ay)^2+z^2\big) = t^2-(x^2+y^2+z^2). \tag{4}$$

Aumentar

Otro ejemplo de una transformación de Lorentz es un impulso que mezcla una coordenada espacial con la coordenada de tiempo:

$$\begin{align} t &\to At+Bx\\ x &\to Bt+Ax \\ y &\to y \\ z &\to z \tag{5} \end{align}$$ con $$A^2-B^2=1. \tag{6}$$ La ecuación (6) es lo mismo que decir$A=\cosh\theta$y$B=\sinh\theta$para algunos$\theta$, pero no necesitamos saber eso. Usando (6), puede confirmar que el reemplazo (5) deja (1) sin cambios: $$(At+Bx)^2-\big((Bt+Ax)^2+y^2+z^2\big) = t^2-(x^2+y^2+z^2). \tag{7}$$

Componer transformaciones de Lorentz

Aquí está la clave: dadas dos transformaciones que dejan (1) sin cambios, su composición claramente también deja (1) sin cambios. "Composición" solo significa hacer un reemplazo tras otro. En particular, hacer la sustitución (5) seguida de la sustitución (2) equivale a hacer la única sustitución

$$\begin{align} t &\to At+B(ax-by)\\ x &\to Bt+A(ax-by) \\ y &\to bx+ay \\ z &\to z. \tag{8} \end{align}$$ Aún mejor, primero podemos hacer (2), luego hacer (5) y luego hacer (2) con el signo opuesto para$b$. El resultado es $$\begin{align} t &\to At+B(ax+by)\\ x &\to a(Bt+A(ax+by))-b(ay-bx) \\ y &\to b(Bt+A(ax+by))+a(ay-bx) \\ z &\to z \tag{9} \end{align}$$ Ahí tienes Eso es un impulso de Lorentz a lo largo de una dirección arbitraria en el$x$-$y$avión. Observe que deja dos de las direcciones espaciales originales sin cambios, a saber$z$y$ay-bx$, por lo que califica como un impulso en el$ax+by$dirección.

Relativo$A,B$a la velocidad

Usé una notación que resalta cuán simples son los conceptos. Para relacionar mis cantidades$A,B$a la velocidad del impulso, utilice$v=B/A$. En el caso (9), las componentes de la velocidad son$v_x=Ba/A$y$v_y=Bb/A$. Si desea utilizar unidades internacionales estándar, simplemente multiplique estas velocidades por$c$.

Perspectiva

Al comienzo de esta respuesta, dije que no necesita saber qué es una matriz y no necesita trigonometría. ¡Tal vez debería haber dicho que ya sabes todo lo que necesitas saber sobre matrices y trigonometría! La idea de componer dos transformaciones lineales para obtener otra transformación lineal es de lo que se trata el álgebra matricial. Pasar de (2) y (5) a (8) es un ejemplo de multiplicación de matrices, aunque no usamos la notación de matrices. La ecuación (3) es la base de la trigonometría ordinaria y la ecuación (6) es la base de la trigonometría hiperbólica .

Con respecto a los impulsos de Lorentz en direcciones arbitrarias, es posible que le interese la pregunta relacionada Matriz de impulso de Lorentz para una dirección arbitraria en términos de rapidez , pero ya sabe todo lo que necesita saber: comience con el impulso (5) y compóngalo con lo que sea rotación(es) que desea apuntar la velocidad en la dirección deseada.

El primer paso, en el que asume que puede aplicar la transformación simultáneamente en dos direcciones, es incorrecto. Si primero te transformaste de$(t,x,y,z)$a$(t',x',y',z')$, y luego aplicó un segundo impulso con el nuevo$t'$, entonces al menos sabría que su resultado fue físico, incluso si el impulso general que obtiene es incorrecto. Pero trataste de juntar los dos impulsos en un solo paso y no hay garantía de que lo que obtuviste tenga algún significado físico. Ahora, incluso si realiza los dos impulsos por separado de acuerdo con su plan, terminará en un marco que se mueve a la velocidad incorrecta, pero al menos es un marco bien definido, por lo que podemos ver qué salió mal.

Considere lo que significa impulsar hasta una velocidad. Significa que un objeto que antes le parecía que se movía con esa velocidad ahora parece estar en reposo. Digamos que tiene configurado un "marcapasos" de este tipo, de modo que pasa el punto$(t_0,x_0,y_0,z_0)=(0,0,0,0)$en tus coordenadas originales y pases posteriores$(t,x,y,z)=(1\,\mathrm{s},v_x\cdot1\,\mathrm{s},v_y\cdot1\,\mathrm{s},0).$Después de tus dos impulsos, quieres$(x'',y'',z'')=(0,0,0)$(no te importa$t''$). Ok, realiza tu primer impulso en el$x$dirección con velocidad$v_x.$¿Qué ves ahora? Entiendo que el evento del marcapasos ahora ocurre en$(t',x',y',z')=(\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}\,\mathrm{s},0,v_y\cdot1\,\mathrm{s},0).$Tenga en cuenta que el punto de referencia$(t_0,x_0,y_0,z_0)=(0,0,0,0)$permanece invariante. Si calcula la velocidad restante del objeto en el$y$dirección, que es$\frac{y'}{t'},$ves que ha aumentado. Entonces, el problema con su plan original es que, una vez que realiza el primer impulso, la dilatación del tiempo del cuadro intermedio hace que aumente la velocidad que debe igualar con su segundo impulso. Realice el segundo impulso con la velocidad ajustada y verá que el objeto se detiene como lo desea.

Así que, ¿qué hemos aprendido? Si desea impulsar hasta la velocidad$(v_x,v_y,0),$primero puede aplicar un impulso en el$x$dirección de$v_x$y luego aplique uno en el$y$dirección con la velocidad ajustada$\frac{v_y}{\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}}$. Esto todavía no será del todo correcto, porque ahora su marco sufrirá la rotación de Wigner : el$x''$y$y''$los ejes inesperadamente ya no son paralelos al original$x$y$y$ejes, que se pueden evitar mediante el uso de una derivación más complicada para el impulso (como se indica en los comentarios), pero si no le importa eso, entonces esto podría estar bien.

Intente extender este esquema a las tres dimensiones.

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Aquí sigue una derivación algo exagerada de impulsos en direcciones generales. Si lo que dices sobre tu habilidad es cierto, no lo entenderás ahora mismo, pero considéralo una especie de objetivo.

La matriz

$$\boldsymbol\eta=\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ es de fundamental importancia para la relatividad especial. Considere una cantidad vectorial$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}ct&x&y&z\end{bmatrix}^T$medida en algún marco de referencia. La cantidad$\mathbf{x}^T\boldsymbol\eta\mathbf{x}=-c^2t^2+x^2+y^2+z^2$permanece igual en todos los marcos de referencia, incluso cuando cambian los componentes del vector. Específicamente, los componentes de una cantidad vectorial cambian bajo una transformación de Lorentz como$\mathbf{x}'=\mathbf{\Lambda x},$dónde$\mathbf{\Lambda}$es una matriz asociada a la transformación. Entonces debemos tener$\mathbf{x}^T\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda x}=\mathbf{x}'^T\boldsymbol\eta\mathbf{x}'=\mathbf{x}^T\boldsymbol\eta\mathbf{x},$y así encontramos que las transformaciones de Lorentz están representadas por matrices donde$\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda}=\boldsymbol\eta.$

Ahora, traemos las armas grandes: la teoría de los grupos de Lie de la matriz. Nos preguntamos, ¿cómo son las transformaciones de Lorentz realmente pequeñas? Bueno, deberían verse como$\mathbf{\Lambda}=\mathbf{I}+\epsilon\mathbf{H},$dónde$\mathbf{I}$es la matriz identidad, que no hace nada cuando se multiplica por cualquier otra cosa,$\epsilon$es un pequeño número real que controla el tamaño de la transformación, y$\mathbf{H}$representa el "tipo" o "esencia" de la transformación. Enchufe eso en la definición$\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda}=\boldsymbol\eta$y obten$\epsilon\boldsymbol\eta\mathbf{H}+\epsilon\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta+\epsilon^2\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta\mathbf{H}=0.$Suelta el$\epsilon^2$término (solo nos interesan las variaciones lineales/de primer orden) y reorganizar para$\mathbf{H}=-\boldsymbol\eta\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta.$Ahora elimina tantas ecuaciones como puedas para llegar a

$$\mathbf{H}=\begin{bmatrix}0&\xi_x&\xi_y&\xi_z\\\xi_x&0&-\theta_z&\theta_y\\\xi_y&\theta_z&0&-\theta_x\\\xi_z&-\theta_y&\theta_x&0\end{bmatrix}.$$

Este es el generador de transformaciones de Lorentz. Las variables restantes son solo las que no terminas resolviendo. Si introduce valores para ellos, puede obtener una transformación de Lorentz con la matriz exponencial$\mathbf{\Lambda}=\exp(\mathbf{H}).$Al ingresar cero para todos menos uno, puede llegar a comprender lo que significa cada uno. Así los he nombrado según su función:$\xi_x,\xi_y,\xi_z$son "rapidez" para impulsos, relacionados con velocidades por$\xi=\operatorname{artanh}(\frac{v}{c})$), y$\theta_x,\theta_y,\theta_z$son ángulos de rotación.

Ahora tenemos una manera de hacer una fórmula para todos los refuerzos. Si quieres aumentar con la velocidad$v_x,v_y,v_z$, primero calcule la velocidad total$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$y rapidez$\xi=\operatorname{artanh}(\frac{v}{c}).$Luego encuentra el vector de rapidez$\xi_i=-v_i\frac{\xi}{v}.$Enchufe estas rapidez en$\mathbf{H}$y anular las rotaciones espaciales. Esta matriz tiene las siguientes propiedades:

$$\begin{align}&\mathbf{H}^0=\mathbf{I},\\&\mathbf{H}^{2n+1}=\xi^{2n}\mathbf{H},\\&\mathbf{H}^{2n+2}=\xi^{2n}\mathbf{H}^2.\end{align}$$ Estos son útiles porque $$\begin{aligned}\mathbf{\Lambda}&=\exp(\mathbf{H})=\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^k}{k!}\\&=\mathbf{I}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^{2k+2}}{(2k+2)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\mathbf{I}+\frac{\mathbf{H}^2}{\xi^2}\sum_{k=0}^\infty\frac{\xi^{2k+2}}{(2k+2)!}+\frac{\mathbf{H}}{\xi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\xi^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\mathbf{I}+\frac{\mathbf{H}}{\xi}\sinh\xi+\frac{\mathbf{H}^2}{\xi^2}(\cosh\xi-1).\end{aligned}$$ Esto finalmente da una expresión explícita para la matriz de transformación de Lorentz$\mathbf{\Lambda}$asociado a una velocidad dada.

Expandido en términos de las coordenadas y con toda la trigonometría hiperbólica simplificada,

$$\begin{alignat}{10} t'&=&\gamma t&{}+{}&-\gamma \frac{v_x}{c^2}x&{}+{}&-\gamma \frac{v_y}{c^2}y&&-\gamma \frac{v_z}{c^2}z&,\\ x'&=&-\gamma v_xt&{}+{}&\left(1+(\gamma-1)\frac{v_x^2}{v^2}\right)x&{}+{}&\frac{v_xv_y}{v^2}(\gamma-1)y&{}+{}&\frac{v_xv_z}{v^2}(\gamma-1)z&,\\ y'&=&-\gamma v_yt&{}+{}&\frac{v_xv_y}{v^2}(\gamma-1)x&{}+{}&\left(1+\frac{v_y^2}{v^2}(\gamma-1)\right)y&{}+{}&\frac{v_yv_z}{v^2}(\gamma-1)z&,\\ z'&=&-\gamma v_zt&{}+{}&\frac{v_xv_z}{v^2}(\gamma-1)x&{}+{}&\frac{v_yv_z}{v^2}(\gamma-1)y&{}+{}&\left(1+\frac{v_z^2}{v^2}(\gamma-1)\right)z&\end{alignat}\\ \left(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).$$

Este impulso no provoca rotaciones no deseadas. ¡Pero buena suerte recordándolo!

Considere el caso simple de un solo observador inercial, sentado solo en el espacio sin acelerar.

coordenadas como$x, y, z,$y$t$son simplemente etiquetas para diferentes puntos/eventos en el espacio-tiempo (los llamamos "puntos" si solo nos preocupamos por$x, y, z$, y "eventos" si nos importan$x,y,z,t$). Elija las etiquetas de ciertas maneras, y tienen propiedades convenientes, como la distancia (espacial) entre dos puntos es$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$. Es habitual elegir coordenadas que sean "ortonormales", lo que básicamente significa que cada eje de coordenadas es perpendicular (ortogonal) a los demás, y una unidad de distancia a lo largo de un eje es la misma distancia a lo largo de otro eje. Hace que la regla de distancia que di arriba funcione.

Dado que la realidad no funciona en términos de coordenadas, es posible que nuestro único observador tenga y use múltiples sistemas de coordenadas diferentes, según lo que le resulte más conveniente. Podrían tener dos sistemas de coordenadas espaciotemporales ortonormales con orígenes diferentes, o ejes espaciales diferentes (siempre que en cada conjunto sean ortogonales y normalizados), o "paridad" diferente, y los dos sistemas estarían relacionados entre sí por rotaciones espaciales. , traducciones del espacio-tiempo y reflexiones. Dadas las coordenadas$(x,y,z,t)_1$de un evento en el sistema de coordenadas 1, podría calcular fácilmente el$(x,y,z,y)_2$del evento en el sistema de coordenadas 2.

Lo que esto significa es que si nuestro único observador ve un objeto que se mueve con una$v_x \neq 0, v_y \neq 0$, entonces nuestro único observador también tiene a su disposición un sistema de coordenadas diferente, obtenido por rotación del primero, donde$v_x \neq 0, v_y = v_z = 0$. Las ecuaciones de movimiento de ese objeto son completamente compatibles entre sí en cualquier sistema de coordenadas.

También podría pensar en ello como dos observadores inmóviles entre sí, cada uno de los cuales tiene su propio sistema de coordenadas ortonormales. Si Alice ve un evento en$(x,y,z,t)_{Alice}$, puede decirle a Adam que mire$(x,y,z,t)_{Adam}$para ver el mismo evento.

Ahora considere su situación, Alice y Bob se están moviendo uno respecto al otro. La Transformación de Lorenz, como normalmente se escribe con$(x,y,z,t)_{Alice'} = (\gamma (x-vt),y,z,\gamma(tc^2 - vx)/c^2)_{Bob'}$, ya asume que tanto Alice como Bob han aplicado rotaciones y traslaciones (y posiblemente una reflexión) a su propio sistema de coordenadas preferido para obtener un par de sistemas de coordenadas que comparten un origen (tanto en el espacio como en el tiempo) y en el tiempo 0 los tres conjuntos del eje espacial corresponden.

Es perfectamente razonable comenzar con las coordenadas en el sistema Alice, convertirlas a Alice usando rotaciones y traslaciones, convertirlas a Bob usando un impulso de Lorenz y luego convertirlas finalmente al sistema de coordenadas Bob para ver dónde debe buscar Bob el evento.

Cada una de esas transformaciones de coordenadas es un cálculo desordenado. Para enseñar relatividad especial, se puede evitar gran parte del desorden trabajando solo con Alice' y Bob', y quizás con Charlie', que resulta estar en un curso paralelo con Alice' y Bob'. En general, se suponía que las rotaciones y traslaciones no eran nada nuevo para los físicos que aprendieron RS por primera vez y, por lo tanto, no era importante mencionarlas excepto de pasada.