¿Qué hay de incorrecto en usar las dos fórmulas para la contracción de Lorentz y la dilatación del tiempo al mismo tiempo?

Las dos fórmulas diferentes se basan en suposiciones diferentes.

La fórmula de dilatación del tiempo asume que hay dos eventos en el espacio-tiempo y que los dos eventos están en la misma posición en un marco de referencia. La fórmula de contracción de longitud supone que hay dos líneas de mundo en el espacio-tiempo y que las dos líneas de mundo están en reposo en un marco de referencia.

Para la luz (geodésica nula), ninguno de estos conjuntos de suposiciones puede aplicarse. Por lo tanto, no puede usar ninguna de estas fórmulas para la luz, y ciertamente no ambas juntas.

La fórmula que funciona en general es la transformada de Lorentz. Recomiendo a los estudiantes principiantes de relatividad que no utilicen las fórmulas simplificadas de contracción de longitud y dilatación de tiempo. Solo usa la transformada de Lorentz. Simplificará automáticamente las fórmulas de dilatación del tiempo y contracción de la longitud cuando corresponda, pero evitará situaciones como esta que surgen del uso incorrecto de las fórmulas simplificadas cuando se violan los supuestos.

De esta y su pregunta anterior, sospecho que su confusión se deriva de la interpretación de$L$en la fórmula de contracción de longitud. De hecho, esto es algo que me confundió mucho cuando estaba empezando.

Considere dos observadores unidos a marcos$S$y$S^\prime$, con$S^\prime$moviéndose a velocidad$v$relativo a$S$en el$x$-dirección. Dejemos que sus coordenadas coincidan en el origen. Cuando derivamos la fórmula para la dilatación del tiempo, consideramos un cambio en el tiempo de$\Delta t=t_2-t_1$en el$S$marco. Al realizar una transformación de Lorentz, se obtiene el mismo cambio en el tiempo en el$S^\prime$marco como$\Delta t^\prime=t_2^\prime-t_1^\prime=\gamma(t_2-t_1)=\gamma\Delta t$desde$x=0$para el observador en$S$. Así llegamos a lo familiar

$$\Delta t^\prime=\gamma\Delta t,\tag*{(1)}$$ lo que nos dice que el tiempo para el observador en$S$alcanzar$t_2$se ve que está dilatado para el observador en$S^\prime$.

Ingenuamente, podríamos intentar hacer lo mismo con las coordenadas espaciales. Digamos que consideramos una longitud$\Delta x=x_2-x_1$en$t_1=t_2=0$. Pasando por los mismos movimientos, encontramos que

$$\Delta x^\prime=\gamma\Delta x.\tag*{(2)}$$ Pero espera. Esta no es la forma correcta de la fórmula de contracción de longitud. realmente debería ser$\Delta x^\prime=\Delta x/\gamma$. ¿Lo que da?

La manera de entender esto es darse cuenta de que$L$se supone que es una longitud. La ecuación 2 es la$x^\prime$distancia entre dos puntos (los extremos de la varilla, digamos) en diferentes momentos . Esto obviamente no es bueno. Mientras que para la derivación de la fórmula de dilatación del tiempo estaba bien comparar los tiempos inicial y final a pesar de que cada observador había cambiado de posición espacial desde la perspectiva del otro, no está bien para medir la longitud de una barra. Necesita medir las posiciones espaciales de cualquier extremo al mismo$t^\prime$coordinar.

Esto es algo que puede quedar mucho más claro mediante un diagrama de espacio-tiempo:

(RL Herman, 2008)

Teniendo en cuenta el diagrama de la derecha, el$x^\prime$distancia entre el par de líneas discontinuas diagonales es la$\Delta x^\prime$en la ec. 2. Sin embargo, la duración contratada es la$\Delta x^\prime$que se muestra en el diagrama, que es una distancia entre puntos a la vez$t^\prime$.

Puede ser útil observar un caso en el que tanto la contracción de la longitud como la dilatación del tiempo sean relevantes para analizar el movimiento de la luz y cómo las fórmulas son consistentes cuando se aplican correctamente.

Considere un "reloj de luz", un canal en el que un pulso de luz se refleja de un lado a otro. En su marco de reposo, el canal tiene una longitud$0.5$y así la luz toma tiempo$1$para completar un período (ida y vuelta), en unidades donde$c = 1$.

Ahora, ¿cuál es el período del reloj en un marco donde el reloj se mueve a una velocidad$v$?

Por lo general, esto se analiza con un movimiento perpendicular al canal, pero eso requiere al menos dos dimensiones espaciales. Si el movimiento del reloj es paralelo al canal, podemos limitar el problema a una dimensión y tener la "bonificación" de incorporar la fórmula de contracción de la longitud.

La longitud contratada del canal es$0.5/\gamma$, dónde$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2}$. Cuando la luz se dirige hacia la derecha, la velocidad relativa aparente entre la luz y el canal en este cuadro es$1 - v$, y cuando la luz va hacia la izquierda, esta velocidad aparente es$1 + v$. (La suma ordinaria se aplica porque simplemente estamos haciendo cinemática en este marco de referencia).

Entonces, el tiempo total para propagarse de un lado al otro y viceversa es

$$t = \frac{0.5/\gamma}{1 - v} + \frac{0.5/\gamma}{1 + v} = \frac{1/\gamma}{1 - v^2} = \gamma.$$ Esto se dilata desde el período de descanso de$1$exactamente como se esperaba.

Esto representa un uso válido de la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo para evaluar el comportamiento de la luz.