¿Qué tiene de malo este procedimiento de encontrar las ecuaciones de transformación de Lorentz?

Question

¿Qué tiene de malo este procedimiento de encontrar las ecuaciones de transformación de Lorentz?

Solidificación

La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales. Esto significa

\frac{d X}{d t} = \frac{d X^{'}}{d t^{'}} = C \Rightarrow {(C d t)}^{2} - d X^{2} = 0 = {(C d t^{'})}^{2} - {d X^{'}}^{2} .

$\frac{dx}{dt}=\frac{dx'}{dt'}=c\\ \Rightarrow {(c\,dt)}^2-dx^2=0={(c\,dt')}^2-{dx'}^2.$ Creo que sin más trabajo, no es obvio que para valores arbitrarios distintos de cero de

{(c d t)}^{2} - d x^{2}

${(c\,dt)}^2-dx^2$ , la igualdad

{(C d t)}^{2} - d X^{2} = {(C d t^{'})}^{2} - {d X^{'}}^{2}

${(c\,dt)}^2-dx^2={(c\,dt')}^2-{dx'}^2$ será cierto.

Dado el postulado de la constancia de la velocidad de la luz, si tuviéramos que encontrar cómo $(t,x)$ debe transformar, podemos hacer uso de la primera igualdad solamente - una condición más débil que la segunda igualdad. Pero generalmente se deriva usando la condición más fuerte (segunda igualdad) que asume la igualdad para valores arbitrarios de ${(c\,dt)}^2-dx^2$ .

Si tenemos que seguir estrictamente el postulado, en mi opinión, debemos derivar las ecuaciones de transformación de Lorentz en dos pasos de la siguiente manera.

Paso 1. Primero, asumimos

C t^{'} = A C t + B X, X^{'} = k C t + D X .

$c\,t'=A\,c\,t+B\,x,\quad x'=K\,c\,t+D\,x.$

Paso 2 Luego haz uso de dos condiciones ${(c\,dt')}^2-{dx'}^2=0$ y ${(c\,dt)}^2-dx^2=0$ .

empezamos con

{(C d t^{'})}^{2} - {d X^{'}}^{2} = 0 \Rightarrow (A^{2} - k^{2}) C^{2} d t^{2} + (B^{2} - D^{2}) d X^{2} + 2 (A B - k D) C d t d X = 0

${(c\,dt')}^2-{dx'}^2=0\\ \Rightarrow (A^2-K^2)\,c^2dt^2 + (B^2-D^2)\,dx^2 + 2(AB-KD)\,c\,dt\,dx=0$ Ahora la única condición que podemos usar es

c d t = \pm d x

$c\,dt=\pm dx$ , que es insuficiente para encontrar las cuatro constantes desconocidas.

¿Significa esto que no se pueden derivar las ecuaciones de transformación de Lorentz únicamente a partir de la constancia de la velocidad de la luz?

Tomás

Con

c > 0

$c>0$ y

d t > 0

$dt>0$ tendrías

c d t > 0

$cdt>0$ , por lo que su condición solo puede ser

c d t = d x

$cdt=dx$ . Una variable no puede ser positiva y negativa al mismo tiempo.

Solidificación

d x / d t = \pm c

$dx/dt=\pm c$ implica luz moviéndose a lo largo

\pm x

$\pm x$ eje. Piensa en el diagrama del cono de luz. De hecho, el primer postulado implica

d x / d t = \pm c = d x^{'} / d t^{'}

$dx/dt=\pm c=dx'/dt'$ .

Tomás

Entonces tendrías que escribir

x_{1} = c t

$x_1=ct$ y

x_{2} = - c t

$x_2=-ct$ . no puedes asumir

x = c t

$x=ct$ y

x = - c t

$x=-ct$ al mismo tiempo. Bien podrías estar diciendo eso

1 = - 1

$1=-1$

Solidificación

No estoy asumiendo eso. usaré

d x = c d t

$dx=cdt$ y

d x = - c d t

$dx=-cdt$ , como dos condiciones separadas. Eso es obvio. En cualquier caso, no resuelve el problema en cuestión.

Respuestas (2)

¿Qué tiene de malo este procedimiento de encontrar las ecuaciones de transformación de Lorentz?

Con $c>0$ y $dt>0$ tendrías $cdt>0$ , por lo que su condición solo puede ser $cdt=dx$ . Una variable no puede ser positiva y negativa al mismo tiempo.
$dx/dt=\pm c$ implica luz moviéndose a lo largo $\pm x$ eje. Piensa en el diagrama del cono de luz. De hecho, el primer postulado implica $dx/dt=\pm c=dx'/dt'$ .
Entonces tendrías que escribir $x_1=ct$ y $x_2=-ct$ . no puedes asumir $x=ct$ y $x=-ct$ al mismo tiempo. Bien podrías estar diciendo eso $1=-1$
No estoy asumiendo eso. usaré $dx=cdt$ y $dx=-cdt$ , como dos condiciones separadas. Eso es obvio. En cualquier caso, no resuelve el problema en cuestión.

j murray · Answer 1

Sí, la constancia de la velocidad de la luz no es suficiente. Necesita supuestos adicionales. Estas notas de Victor Yakovenko proporcionan una derivación de la transformación de coordenadas general

(\begin{matrix} X^{'} \\ t^{'} \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2} / a}} (\begin{matrix} 1 & - v \\ v / a & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ t \end{matrix})

$\pmatrix{x'\\t'}=\frac{1}{\sqrt{1+v^2/a}} \pmatrix{1 & -v\\v/a & 1}\pmatrix{x\\t}$

dónde $a$ es algún parámetro con dimensiones de velocidad al cuadrado. Esta derivación hace las siguientes suposiciones:

La transformación de coordenadas debe ser lineal (ya asumiste esto en el paso 1)
El espacio es isotrópico, por ejemplo, la longitud de una regla en movimiento es la misma si se mueve hacia la izquierda que si se mueve hacia la derecha.
La composición de dos transformaciones es otra transformación.
Las transformaciones dependen solo de la velocidad relativa entre fotogramas

Esto produce 3 posibilidades viables. Cualquiera $a>0$ , $a<0$ , o $a\rightarrow \infty$ (el último caso da como resultado las transformaciones de Galileo). Sin embargo, si además exigimos que exista una velocidad invariante $c$ tal que los objetos se mueven con velocidad $c$ en un fotograma se mueven con la misma velocidad en todos los demás fotogramas, entonces la única posibilidad es que $a = -c^2 < 0$ .

Hay muchas rutas a las transformaciones de Lorentz que hacen suposiciones diferentes, pero el punto de mi respuesta es que la suposición de la constancia de la velocidad de la luz no es suficiente por sí sola. Debe haber otras suposiciones (razonables) motivadas físicamente sobre la estructura y las simetrías del espacio-tiempo para acompañarlo.

Es divertido ver esto ya que Yakovenko me enseñó c. curso de mech en la escuela de posgrado y lo vi dar precisamente esta derivación.
Dijiste que si adicionalmente exigimos que exista una velocidad invariable c tal que los objetos que se mueven con velocidad c en un marco se mueven con la misma velocidad en todos los demás marcos . Los objetos en realidad no se mueven con la misma velocidad en diferentes marcos de referencia, solo la luz lo hace. Y el problema con la derivación a la que se vinculó es que realmente no hay ninguna forma de traer la velocidad de la luz de forma natural. Parece mucho como una derivación de ingeniería inversa para obtener el resultado deseado.
@Thomas No está claro lo que quiere decir con "realmente no hay ninguna forma de traer la velocidad de la luz de forma natural". La constancia de la velocidad de la luz es una suposición independiente. El propósito de la derivación a partir de los puntos 1. 2. 3. 4 es demostrar que es posible diferir la suposición de la constancia de la velocidad de la luz hasta el último paso. Eso demuestra la independencia. Parece que califica la elección entre 3 posibilidades como 'traer la velocidad de la luz de una manera antinatural', pero no está claro cómo eso debería constituir algo "antinatural".
@zeldredge Él también enseñó el mío 🙂 Creo que tú y yo nos hemos encontrado una o dos veces, de hecho.
@Cleonis Elegir la posibilidad que más le convenga de las 3 opciones no puede llamarse derivación. No se da ninguna razón estricta en www2.physics.umd.edu/%7Eyakovenk/teaching/Lorentz.pdf por la cual la transformación de Galilei no debería ser la solución.
@Thomas Soy consciente de que los objetos masivos se mueven a diferentes velocidades en diferentes marcos. Lo que dije fue que si quieres que haya una velocidad invariable, entonces eso arregla $a$ ser menos el cuadrado de esa velocidad. Empíricamente, hemos observado que el universo que ocupamos tiene tal velocidad, la velocidad de la luz, que es la pieza final requerida en la derivación de la fórmula de transformación de Lorentz.
@Thomas RE ese último comentario: sí, por supuesto. El hecho de que exista tal velocidad es una entrada física observada empíricamente para la derivación. Esto es física, no matemáticas, y la física no es axiomática: la entrada empírica es una necesidad absoluta en cada derivación que tenemos.
@Thomas erm... el objetivo de la derivación es demostrar que las restricciones 1. 2. 3. 4. no descartan la transformación de Galileo. Solo hay una forma de establecer qué transformación es aplicable: mediante un experimento físico. Los datos de los experimentos nos apuntan hacia un lado o hacia el otro. Hipótesis: tiene la impresión de que debería ser posible descartar la transformación de Galileo por puro razonamiento lógico. Descartar tal noción es la razón por la que la derivación a partir de las restricciones 1. 2. 3. 4. es valiosa.
El punto es que no hay entrada física a las ecuaciones en esa derivación. Es una transformación matemática de coordenadas, pero no se especifica con qué se relacionan físicamente estas coordenadas. ¿Se relacionan con la trayectoria de un objeto? ¿O se relacionan con el camino de una señal de luz? ¿Y por qué asumiría que la solución sería la misma en los dos casos?
@Thomas Mi respuesta da por sentado que sabe qué es un marco de referencia inercial y qué especifican las coordenadas correspondientes, ya que ese es el contexto en el que se hizo la pregunta. Sus preguntas no carecen de importancia, pero las respuestas a ellas son requisitos previos para esta.
@Cleonis Permítanme decirlo de esta manera: si no supiéramos nada sobre la velocidad de la luz, ¿sobre qué base concluiría que tenemos que investigar la propagación de las señales de luz para obtener una respuesta con respecto a la pregunta cómo el ¿Las coordenadas de algún objeto se transforman entre dos marcos de referencia que se mueven relativamente entre sí?
@Thomas De hecho: las propiedades de propagación de la luz surgen como consecuencia ; no son causa. El concepto clave es la métrica del espacio-tiempo. La transición de la dinámica newtoniana a la dinámica relativista fue una transición de cómo se conceptualizan el espacio y el tiempo: newtoniana: métrica euclidiana; relativista: Métrica de Minkowski. La métrica de Minkowski es el principio porque describe la naturaleza del espacio-tiempo. La métrica de Minkowski expresa la siguiente propiedad física: hay un límite superior para la velocidad de cualquier propagación. Tanto la materia como la propagación de las ondas están sujetas a ese límite superior.
@Thomas stackexchange está diseñado específicamente para no ser un foro con hilos. La sección de comentarios no es para conversar. La forma recomendada de proceder es: si se encuentra escribiendo una pregunta en una sección de comentarios, vuelva a escribir esa pregunta para enviarla como una pregunta independiente. (Para el contexto, por supuesto, puede referirse a la respuesta que lo activó).

Tomás · Answer 2

He visto la transformación de Lorentz derivada de una manera muy similar a la que usted abordó:

Permítanme primero reescribir su ecuación final sin los diferenciales (no tiene mucho sentido usarlos si se supone que la velocidad de la luz es constante)

(1) (A^{2} - k^{2}) C^{2} t^{2} + (B^{2} - D^{2}) X^{2} + 2 (A B - k D) C t X = 0

$(1)\:\:\:(A^2-K^2)c^2t^2 +(B^2-D^2)x^2 +2(AB-KD)ctx =0$

Si restas además la ecuación $c^2t^2-x^2=0$ de esto se obtiene

(2) (A^{2} - k^{2} - 1) C^{2} t^{2} + (B^{2} - D^{2} + 1) X^{2} + 2 (A B - k D) C t X = 0

$(2)\:\:\:(A^2-K^2-1)c^2t^2 +(B^2-D^2+1)x^2 +2(AB-KD)ctx =0$

Si se supone que eso es cierto para todo x en t dado, cada uno de los coeficientes de las diferentes potencias de x tiene que ser cero por separado, por lo que

(3) A^{2} - k^{2} - 1 = 0

$(3)\:\:\:A^2-K^2-1=0$

(4) B^{2} - D^{2} + 1 = 0

$(4)\:\:\:B^2-D^2+1=0$

(5) A B - k D = 0

$(5)\:\:\:AB-KD=0$

Ahora, además, obviamente tiene que usar la restricción de que los marcos preparados y no preparados se mueven relativamente entre sí (después de todo, es por eso que estamos haciendo esto en primer lugar). Así que las condiciones adicionales que tenemos son

(6) X^{'} = 0 => X = v t

$(6)\:\:\:x'=0 => x=vt$

(7) X = 0 => X^{'} = - v t

$(7)\:\:\:x=0 => x'=-vt$

Insertando esto en tu transformación

(8) X^{'} = D X + k C t

$(8)\:\:\:x'=Dx+Kct$

(9) C t^{'} = A C t + B X

$(9)\:\:\:ct'=Act+Bx$

rendimientos entonces

(10) k = - \frac{v}{C} D

$(10)\:\:\:K=-\frac{v}{c}D$

(11) A = D

$(11)\:\:\:A=D$

(12) B = k

$(12)\:\:\:B=K$

Insertando esto en (3) y (5) se obtiene

(13) D^{2} (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}) - 1 = 0 => D = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$(13)\:\:\:D^2(1-\frac{v^2}{c^2})-1=0 => D=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(14) B = - \frac{v}{C} \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$(14)\:\:\:B=-\frac{v}{c}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ .

Sin embargo, en mi opinión, hay un problema con esta derivación:

Las ecuaciones cuadráticas que conducen a la ecuación (1)

(15) X^{2} = C^{2} t^{2}; X^{' 2} = C^{2} t^{' 2}

$(15)\:\:\: x^2=c^2t^2 ;\:\:\: x'^2=c^2t'^2$ tener las soluciones

(dieciséis) X_{1} = C t; X_{1}^{'} = C t^{'}

$(16)\:\:\: x_1=ct ;\:\:\: x_1'=ct'$

(17) X_{2} = - C t; X_{2}^{'} = - C t^{'}

$(17)\:\:\: x_2=-ct ;\:\:\: x_2'=-ct'$

entonces

(18) X_{2} = - X_{1}

$(18)\:\:\: x_2= -x_1$

(19) X_{2}^{'} = - X_{1}^{'}

$(19)\:\:\: x_2'= -x_1'$

Podemos reescribir la transformación (8) para las dos soluciones como

(20) X_{1}^{'} = D X_{1} + k C t

$(20)\:\:\:x_1'=Dx_1+Kct$

(21) X_{2}^{'} = D X_{2} + k C t

$(21)\:\:\:x_2'=Dx_2+Kct$

Sin embargo, al insertar (18),(19) en (21) obtenemos

(22) - X_{1}^{'} = - D X_{1} + k C t

$(22)\:\:\:-x_1'=-Dx_1+Kct$ es decir

(23) X_{1}^{'} = D X_{1} - k C t

$(23)\:\:\:x_1'=Dx_1-Kct$

lo cual es inconsistente con (20) a menos que $K=0$ es decir, a menos $v=0$ , que no tiene ningún sentido.

Las ecuaciones originales que llevaron a (1) incluyen $ct' = Act + Bx$ y $x' = Kct + Dx$ , que no son invariantes bajo $(x,x')\rightarrow(-x,-x')$ .
@ J.Murray Está tratando de encontrar una transformación lineal que sea consistente con $x^2=c^2t^2$ , $x'^2=c^2t'^2$ Las últimas ecuaciones son invariantes bajo $(x,x′)→(−x,−x′)$
Correcto... pero ¿por qué esperarías que fuera tu transformación lineal? $x^2=4$ es invariante bajo $x\rightarrow -x$ , pero $x=2$ obviamente no lo es, ni lo es $x=-2$ .
@J.Murray Te perdiste la parte crucial: de $x'^2=4$ tienes entonces también las dos soluciones $x_1'=2$ y $x_2'=-2$ , es decir, la variable con prima cambia de signo cuando la variable sin prima cambia de signo
Creo que tal vez te estás perdiendo la parte crucial. $x' = \gamma(x-vt)$ y $-x' = \gamma (-x -vt) \iff x' = \gamma(x+vt)$ ambos son impulsos perfectamente válidos. No son el mismo impulso, al igual que $x=2$ y $x=-2$ no son las mismas soluciones para $x^2=4$ .
@ J.Murray Consulte mi respuesta editada que debería aclarar mi punto.
No tiene sentido exigir que ambos $x’=0$ y $x=0$ . Sólo hay un evento para el cual $x$ y $x’$ ambos son cero, y está en $t=t’=0$ .
@ J.Murray No tiene sentido exigir que tanto x′=0 como x=0 No estoy seguro de por qué dice que se hizo tal requisito (o cualquier requisito). Las ecuaciones escritas anteriormente simplemente evalúan la ecuación de transformación por separado para una señal de luz en el eje x positivo y negativo, suponiendo que una señal de luz enviada en t = t' = 0 se propaga simétricamente al origen en cualquier marco de referencia (como lo requiere el principio de invariancia para la velocidad de la luz). Consulte directamente las ecuaciones algebraicas anteriores en caso de que vea algún problema en alguna parte.
Su edición aclara el malentendido y está relacionado con una pregunta que hizo en un comentario a mi respuesta. Las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas de los eventos en un cuadro con las coordenadas del mismo evento en otro. Si desea expresar la trayectoria de una partícula (o un rayo de luz) en un nuevo cuadro, debe transformar las coordenadas de posición y tiempo. En otras palabras, sus condiciones (18/19) deben ser $x_2(t) = -x_1(t)$ y $x_2'(t')=-x_1'(t')$ . expresando $x_1'$ y $x_2'$ en términos de $t'$ resolver sus problemas. Si sigue confundido, debe preguntar [...]
[...] una nueva pregunta sobre esto, porque los hilos de comentarios no están destinados a una discusión extensa.
@J.Murray No estoy tratando de discutir nada ni de hacer preguntas. Solo le informo que su comentario no responde a mi respuesta. Si hubiera verificado las ecuaciones (16), (17), habría visto la dependencia del tiempo de $x_1'$ y $x_2$ ' y también que, en consecuencia, (18), (19) se cumplen independientemente de $t$ y $t'$ '. Nuevamente, apéguese a las ecuaciones anteriores y no evoque algunos argumentos no relacionados.
Y te estoy informando que estás equivocado acerca de eso. Me he tomado la libertad de explicar explícitamente por qué y cómo en este chat , al que puedes responder si sigues pensando que estoy equivocado.

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