Sobre la dependencia del tiempo en la transformación entre marcos de referencia en Relatividad especial

Supongamos que tenemos un marco de referencia S con (posición, tiempo) variable como ( X , t ) y en otro marco S ′ tenemos otro conjunto de coordenadas ( X ′ , t ′ ) moviéndose a una velocidad de v con respecto a S entonces la transformada de Lorentz es el mapa que convierte las primeras coordenadas:

X ′ = X ( X , t , v )

Ahora la forma de la ecuación toma:

X ′ = A ( v ) X + B ( v ) t

Entonces, alguna función de velocidad por la antigua coordenada x más alguna otra función de velocidad por la antigua coordenada. Encontré una manera de mostrar que necesariamente debe ser eso X ′ es una linea recta con respecto a X pero ¿cómo muestro que debería ser con respecto a t ¿también? es decir: Manifestación de qué propiedad física es la que X ′ es una recta con respecto a t para fijo X y v ?

prueba de que X ′ es función lineal de X : Supongamos que en el cuadro con variables ( X , t ) tenemos una varilla con puntos finales X 1 y X 2 , entonces la longitud de la barra se da como:

X 2 − X 1 = Δ X

Ahora supongamos que desplazo la varilla X 2 → X 2 + h y X 1 → X 1 + h , entonces aún se conservará la longitud.

En el otro marco, la longitud se da como:

X 2 ′ − X 1 ′ = Δ X ′

X ( X 2 , t ) − X ( X 1 , t ) = Δ X ′

Ahora, la longitud será la misma cuando transformemos las coordenadas de las barras desplazadas:

X ( X 2 , t ) − X ( X 1 , t ) = X ( X 2 + h , t ) − X ( X 1 + h , t )

Reorganizar, dividir por h y toma el limite:

∂ X ∂ X | X 1 = ∂ X ∂ X | X 2

Esto se puede argumentar para cualquier punto X 1 , por lo que la pendiente debe ser constante y la X debe ser una línea recta con X .

Ahora, ¿cómo muestro un argumento similar para el tiempo?

Dices que hay una velocidad v en un marco de referencia y otro v ′ en otro marco de referencia. ¿Cuál es la relación entre los dos marcos? Por lo general, SR tiene ( X , t ) en S y ( X ′ , t ′ ) en S ′ y hay una velocidad relativa constante entre S y S ′ . También creo que sin suposiciones sobre lo que se supone que debe preservar su transformación, no hay esperanza de hacer derivaciones. En SR, la transformación de Lorentz conserva la métrica de Lorentz.
Hola, la suposición que usé aquí para demostrar que es una línea con respecto a x es que la longitud de la varilla medida en cualquier lugar del marco anterior es la misma. Quiero averiguar cuál sería la suposición física para el t
Veo. Estás tratando de mostrar que la transformación debe ser lineal cuando hay cierta homogeneidad en el espacio y el tiempo. El espacio se ve bien. El tiempo no debería ser diferente. Si mides un intervalo de tiempo Δ t en S no importa a que hora marca tu reloj t 1 . Igual por S ′ . En otras palabras: las diferencias de tiempo son homogéneas en el tiempo en cada marco de Lorentz.
Esto debería haberse escrito como una respuesta @KurtG. xD
Probablemente. Mientras tanto, ya estoy viendo buenas respuestas aquí. ¿Ha pensado en la pregunta de qué condiciones implican no solo la linealidad sino también la forma de las transformaciones de Lorentz tal como las conocemos?
Creo que la respuesta de Dave llegó directamente a @Kurt G.

Respuestas (2)

Ahora, ¿cómo muestro un argumento similar para el tiempo?

En realidad, es más fácil discutir ambos juntos. Estamos tratando de encontrar la forma de una transformación entre marcos inerciales. Un marco inercial es aquel en el que se cumple la primera ley de Newton: un objeto aislado se mueve en línea recta a una velocidad constante. Tal camino es una línea recta en el espacio-tiempo. Por lo tanto, estamos buscando transformaciones de espacio-tiempo que mapeen líneas rectas en líneas rectas.

Este tipo de transformaciones se denominan transformaciones afines. Una transformación afín se puede escribir como X ′ = A   X + b . El b es solo una traducción del origen, que podemos diferir por ahora y agregar más adelante. Así que nos enfocamos en A   X que es una transformación lineal y tiene la forma que quería arriba tanto para el espacio como para el tiempo

Simplemente puede desplazar el origen de los ejes de coordenadas elegidos a lo largo del eje de tiempo. Cuando desplaza el origen, las coordenadas de tiempo de todos los eventos cambian un poco.

Ahora considere el hecho de que la elección del origen es arbitraria. Al cambiar el origen, simplemente ha cambiado las etiquetas de tiempo que atribuye a los eventos. A la física no le importa la etiqueta que le des a los eventos. Las etiquetas son solo para su contabilidad. Usando este razonamiento, puede concluir que este cambio en el origen no tiene ningún impacto en el intervalo de tiempo entre dos eventos después de la transformación de Lorentz.

Aquí hay otra forma de decirlo: usted y su amigo están parados en el mismo lugar con cronómetros en sus manos (sin movimiento relativo entre ustedes dos). Ambos quieren medir el intervalo entre dos eventos. A y B . Digamos, tu cronómetro mide el evento A ′ s ocurrencia en t = 1 s y B en t = 2 s El reloj de tu amigo muestra A en t = 1 + h y B en t = 2 + h . Claramente, la única diferencia es que tu amigo puso en marcha su cronómetro h segundos antes que tú.

Si ambos calculan de forma independiente el intervalo de tiempo entre los dos eventos observados por un observador que se mueve en relación con ustedes, claramente deberían llegar a la misma respuesta. Ambos pertenecen al mismo marco inercial. El hecho de que tu amigo pusiera en marcha su cronómetro antes para medir el tiempo no debería tener ningún impacto en su cálculo.

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