Matriz de impulso de Lorentz para una dirección arbitraria en términos de rapidez

Hemos derivado la matriz de impulso de Lorentz para un impulso en la dirección x en clase, en términos de rapidez, que de Wikipedia es:

Suponga que el impulso es a lo largo de una dirección norte ^ = norte X i ^ + norte y j ^ + norte z k ^ ,

ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Cómo generalizo esto a un impulso en cualquier dirección arbitraria y cuál es el resultado? Cualquier ayuda más apreciada.

Simplemente conjugue con matrices de rotación.
He resuelto este problema yo mismo, así que tal vez debería escribir una respuesta. Gracias de todos modos.
Sí, definitivamente deberías.
@MarkEichenlaub, publiqué una respuesta que funciona, pero estoy interesado en su método con las matrices de rotación. ¿Darías más información al respecto?

Respuestas (3)

¿Has probado Wikipedia - Transformación de Lorentz - Transformaciones adecuadas ?

Creo que eso es casi lo que necesitas:

[ C t ′ X ′ y ′ z ′ ] = [ γ − γ β X − γ β y − γ β z − γ β X 1 + ( γ − 1 ) β X 2 β 2 ( γ − 1 ) β X β y β 2 ( γ − 1 ) β X β z β 2 − γ β y ( γ − 1 ) β y β X β 2 1 + ( γ − 1 ) β y 2 β 2 ( γ − 1 ) β y β z β 2 − γ β z ( γ − 1 ) β z β X β 2 ( γ − 1 ) β z β y β 2 1 + ( γ − 1 ) β z 2 β 2 ] [ C t X y z ]

¡Gracias! Esto es lo que necesito, pero mi pregunta es ¿cómo se obtiene de las matrices de impulso de Lorentz a lo largo de las direcciones x, y y z?

Esta respuesta describe cómo transformar las coordenadas de eventos en S a S ′ coordenadas cuando S ′ se mueve con velocidad general v → en S marco.

Usando el video de YouTube The General Lorentz Transformation , se puede hacer de la siguiente manera:

Dejar r → = r → ( C t , X , y , z ) en S , y este mismo evento en S ′ ser r → ′ = r → ′ ( C t ′ , X ′ , y ′ , z ′ ) . S ′ se está alejando de S con velocidad v → .

Coordenadas espaciales

Ignorando el C t dependencia de r y r ′ por ahora escribe r → como suma de dos vectores, uno paralelo a v → , uno perpendicular a él.

r → = r → ∥ + r → ⊥ .

Dado que sólo la componente paralela a v → no es invariante de Lorentz, podemos escribir:

r → ′ = r → ⊥ + γ ( r → ∥ − v → t )

Reescribir, usando r → ⊥ = r → − r → ∥ :

r → ′ = r → − r → ∥ + γ ( r → ∥ − v → t )

r → ′ = r → + ( γ − 1 ) r → ∥ − γ v → t

Escribiendo r → ∥ como:

r → ∥ = r → ⋅ v → ^ v → ^ = r → ⋅ v → v → | v → | 2

tenemos:

r → ′ = − γ v → t + r → + ( γ − 1 ) r → ⋅ v → v → | v → | 2

Ampliar los términos de r → ′ :

X ′ = − γ v X t + X + ( γ − 1 ) ( X v X ) | v → | 2 v X + ( γ − 1 ) ( y v y ) | v → | 2 v X + ( γ − 1 ) ( z v z ) | v → | 2 v X

y ′ = − γ v y t + y + ( γ − 1 ) ( X v X ) | v → | 2 v y + ( γ − 1 ) ( y v y ) | v → | 2 v y + ( γ − 1 ) ( z v z ) | v → | 2 v y

z ′ = − γ v z t + z + ( γ − 1 ) ( X v X ) | v → | 2 v z + ( γ − 1 ) ( y v y ) | v → | 2 v z + ( γ − 1 ) ( z v z ) | v → | 2 v z

Dependencia del tiempo

En la configuración estándar, el C t la dependencia se transforma como:

C t ′ = γ ( C t − v X C )

Dónde v X es: el componente ( X ) de cualquier evento que estemos transformando en Lorentz en la dirección del movimiento del marco imprimado ( S ′ ), veces la velocidad ( v )del movimiento de S ′ . Ahora S ′ no se mueve a lo largo de lo positivo X dirección más, así que reemplace v X con v → ⋅ r → : este es el componente de r → en la dirección de S ′ -unidad de movimiento-vector v → ^ veces la velocidad v . Entonces tenemos:

C t ′ = γ ( C t − v → ⋅ r → C ) = γ C t − γ X v X C − γ y v y C − γ z v z C

Forma de matriz

Ponga las ecuaciones anteriores en forma de matriz, usando la notación: β → = v → C y β = | β → | :

( C t ′ X ′ y ′ z ′ ) = ( γ − γ β X − γ β y − γ β z − γ β X 1 + ( γ − 1 ) β X 2 β 2 ( γ − 1 ) β y β X β 2 ( γ − 1 ) β z β X β 2 − γ β y ( γ − 1 ) β X β y β 2 1 + ( γ − 1 ) β y 2 β 2 ( γ − 1 ) β z β y β 2 − γ β z ( γ − 1 ) β X β z β 2 ( γ − 1 ) β y β z β 2 1 + ( γ − 1 ) β z 2 β 2 ) ( C t X y z )

que también es la matriz dada en la respuesta de Thomas , así que hemos terminado.

Actúas con una rotación arbitraria sobre el impulso en una dirección.

¿Podría elaborar editando su respuesta?
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