Matriz de transformación de Lorentz para los 3 ejes espaciales

La matriz de transformación de Lorentz (para los 3 ejes espaciales, no solo para un impulso de una sola dimensión) parece definirse comúnmente de la siguiente manera:

[ γ − γ v X / C − γ v y / C − γ v z / C − γ v X / C 1 + ( γ − 1 ) v X 2 v 2 ( γ − 1 ) v X v y v 2 ( γ − 1 ) v X v z v 2 − γ v y / C ( γ − 1 ) v y v X v 2 1 + ( γ − 1 ) v y 2 v 2 ( γ − 1 ) v y v z v 2 − γ v z / C ( γ − 1 ) v z v X v 2 ( γ − 1 ) v z v y v 2 1 + ( γ − 1 ) v z 2 v 2 ]
Traté de derivarlo yo mismo combinando las matrices para las direcciones de impulso individuales y haciendo v = | v → | y terminó en
[ C t ′ X ′ y ′ z ′ ] = [ γ − β X γ − β y γ − β z γ − β y γ v X 1 γ v X 0 0 − β y γ v y 0 1 γ v y 0 − β z γ v z 0 0 1 γ v z ] [ C t X y z ]
Dónde γ = 1 1 − | v → | 2 C 2 y γ v X = 1 1 − v X 2 C 2

2 preguntas ¿De dónde vienen los 9 términos de abajo a la derecha en la definición común y por qué es el de arriba? γ y no 1 γ dado que yo ′ = yo γ pero t ′ = t γ

Su matriz no se reduce al caso simple de movimiento en el X -dirección cuando se establece β y y β z a cero. Así que no puede ser correcto.
Me parece a mi. no entiendo
y ′ = − C t β y γ v y + y γ v y ,     dejar     v y = 0
= − C t ∗ 0 + y
= y
lo mismo con z
Creo que podría usar las ecuaciones de transformación rotacional en las transformaciones de Lorentz, es decir, aplicarlas una por una
Lo cambié para que la longitud sea recíproca de gamma y no de tiempo. Cometí un error allí.
@LewisKelsey parece que su pregunta ha sido respondida. ¿Debería cerrarse esta pregunta?
@Lelouch No, todavía no sé por qué todas las matrices que veo tienen un − β γ término en lugar de − β γ término en las 3 filas inferiores dado que dado que t ′ = t γ pero yo ′ = yo γ
La composición de dos impulsos de Lorentz a lo largo de dos ejes diferentes no es un impulso a lo largo de un tercer eje: la combinación de dos impulsos de Lorentz .
Para el impulso de Lorentz a lo largo de una dirección arbitraria: Derivando Λij componentes de la matriz de transformación de Lorentz .

Respuestas (2)

Su principal problema es que los aumentos no están cerrados bajo composición en Relatividad, excepto cuando están en la misma dirección o en direcciones opuestas. La composición de dos impulsos en diferentes direcciones es una combinación de un impulso y una rotación de los ejes. Por lo tanto, no puede derivar el impulso resultante aplicándolos uno a la vez a lo largo de cada eje... sin reorientar también los ejes.

El espacio-velocidad en la Relatividad no es plano, sino curvo.

La situación es la misma que si intentara tomar una cuadrícula en la superficie de la Tierra en el ecuador a 90 grados de longitud oeste, con X apuntando al este Y apuntando al norte, y luego "impulsarla" hasta el polo norte, con X no apuntando al sur a lo largo del primer meridiano e Y apuntando al sur a lo largo de los 90 grados de longitud este; luego "empújelo" hacia el sur de regreso al ecuador a 180 grados de longitud, con X apuntando ahora al norte e Y apuntando al oeste, y luego "empújelo" de regreso a 90 grados al oeste, con X aún apuntando al norte e Y apuntando al oeste. El resultado es una rotación de 90 grados de los ejes en sentido antihorario.

Algo similar sucedería con 3 impulsos en diferentes direcciones en el espacio de velocidades que lo devuelven a 0: habrá una rotación de ejes, en el sentido de las agujas del reloj ... al revés, porque el espacio de velocidades tiene una curvatura negativa.

Δ X = X F − X i = γ ( Δ X ′ + v Δ t ′ ) = γ ( X F ′ − X i ′ + v ( t F ′ − t i ′ ) )
Δ t ′ = t F ′ − t i ′ = 0
Δ t ′ = t F ′ − t i ′ = γ ( Δ t − v ( X F − X i ) C 2 )
Δ X = X F − X i = 0

Deducimos estos hechos: Δ X = γ Δ X ′ = yo = γ Δ yo ′ y Δ t ′ = γ Δ t no t ′ = γ t .La razón es que no hablamos de un tiempo de un evento en el espacio-tiempo. Lo que nos interesa es la diferencia de tiempo entre dos eventos.

Matriz de transformación de Lorentz para los 3 ejes espaciales
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