Transformaciones de Lorentz en el espacio de Minkowski

Question

Transformaciones de Lorentz en el espacio de Minkowski

Física
covarianza
tensor-métrico
cálculo tensorial
lorentz-simetría
relatividad especial

SRS

Si $\Lambda$ representa la matriz de transformación de Lorentz, luego la transformación de componentes contravariantes $x^\mu$ es dado por

X^{' m} = Λ^{m}_{v} X^{v}

$x'^\mu=\Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu$ y el de las componentes covariantes viene dado por

X_{m}^{'} = Λ_{m}^{v} X_{v}

$x^\prime_\mu =\Lambda_{\mu}{}^{\nu}x_\nu$ nosotros usamos

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ subir y bajar los índices de

Λ

$\Lambda$ . En esta notación, recordamos que el primer índice es siempre el índice de la fila y el segundo índice es el índice de la columna independientemente de su posición arriba o abajo. Ahora usando la relación

η_{ρ σ} = η_{m v} Λ^{m}_{ρ} Λ^{v}_{σ},

$\eta_{\rho\sigma}=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\Lambda^{\nu}{}_{\sigma},$ se puede demostrar que

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} = Λ_{ρ}^{σ}

$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=\Lambda_{\rho}{}^\sigma$

Ahora, aquí están las preguntas.

si definimos $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ ser el $\mu\nu-$ th componente de la matriz de transformación de Lorentz, entonces $=\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ es el $\mu\nu-$ th componente de de $\Lambda^{-1}$ . Entonces, ¿qué hacen los objetos $\Lambda_{\mu\nu}$ o $\Lambda^{\mu\nu}$ ¿representar?
Si queremos tomar, el elemento de la matriz de $\eta^{-1}\eta=I$ , ¿qué se debe escribir? Deberia ser: $(\eta^{-1})^{\mu}{}_{\sigma}(\eta)^{\sigma}{}_{\nu}$ o $(\eta^{-1})^{\mu\sigma}(\eta)^{\sigma\nu}=\delta^{\mu\nu}$ , o $(\eta^{-1})_{\mu\sigma}(\eta)_{\sigma\nu}=\delta_{\mu\nu}$ ¿o algo mas?
¿Cuál es la relación entre $\eta^{\mu\nu}$ y $\eta_{\mu\nu}$ y ¿cómo establecer esa relación?

EDITAR: Esta es una pregunta adicional relacionada con la manipulación del índice. Desde $\eta=\Lambda^T\eta\Lambda$ , tenemos $\Lambda^{-1} =\eta^{-1}\Lambda^T \eta$ tomando elementos de la matriz en ambos lados obtenemos,

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} = (η^{- 1} Λ^{T} η)^{σ}_{ρ}

$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=(\eta^{-1}\Lambda^T \eta)^{\sigma}{}_{\rho}$

= (η^{- 1})^{σ α} Λ^{β}_{α} η_{β ρ}

$=(\eta^{-1})^{\sigma\alpha}\Lambda^{\beta}{}_{\alpha}\eta_{\beta\rho}$

= ?

$=?$ A partir de esto, ¿cómo podemos llegar a la relación

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} = Λ_{ρ}^{σ}

$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=\Lambda_{\rho}{}^\sigma$ Ya que, no sé la acción de

(η^{- 1})^{σ α}

$(\eta^{-1})^{\sigma\alpha}$ , no puedo seguir adelante (dado

Λ^{- 1} = η^{- 1} Λ^{T} η

$\Lambda^{-1}=\eta^{-1}\Lambda^T\eta$ como punto de partida).

Respuestas (1)

Transformaciones de Lorentz en el espacio de Minkowski

una mente curiosa · Answer 1

$\Lambda_{\mu\nu} = {\Lambda_\mu}^\sigma\eta_{\sigma\nu}$ . No "hace" nada.
$\delta_{\mu\nu}$ y $\delta^{\mu\nu}$ no son tensores, como explico extensamente en esta respuesta mía . Los elementos de la matriz de la identidad son $\delta_\mu^\nu$ , que podrías haber determinado pensando en el hecho de que la identidad debe enviar vectores $v^\mu$ a otros vectores, por lo que necesita un índice inferior que pueda contraerse con el índice vectorial superior, y necesita un índice superior para que el resultado pueda seguir siendo un vector. Escribiendo $\eta^{-1}\eta$ no tiene sentido porque la métrica es un tensor (0,2), no una matriz que tiene una inversa en el sentido del álgebra lineal. Sin embargo:
$\eta^{\mu\nu}$ y $\eta_{\mu\nu}$ son "inversos" entre sí en el siguiente sentido: $\eta^{\mu\sigma}\eta_{\sigma\nu} = \delta^\mu_\nu$ . Esto se desprende de la definición misma de $\eta^{\mu\nu}$ - es el objeto el que suscita índices, mientras que $\eta_{\mu\nu}$ define la reducción de los índices. Primero bajando y luego subiendo un índice debería ser la identidad, que es exactamente lo que la ecuación $\eta^{\mu\sigma}\eta_{\sigma\nu} = \delta^\mu_\nu$ medio.

@ACuriousMind-Cuando escribes $\delta^\nu_\mu$ , no parece distinguir entre el primer o el segundo índice. ¿Porqué es eso? La pregunta 3 se hizo porque tenía problemas para escribir la ecuación. $\Lambda^{-1}=\eta^{-1}\Lambda^T\eta$ (que se obtiene de $\Lambda^T \eta\Lambda=\eta$ ) en forma de componente.
@SRS: no distingo porque soy perezoso y porque no importa, lo que cuenta es qué índice es superior y cuál es inferior, el $\delta$ no le importa el orden.
Gracias. Ahora ha comenzado a tener sentido. dijiste eso $\delta^{\mu\nu}$ no es un tensor, pero sabemos $T^{\mu\nu}$ o $F^{\mu\nu}$ son tensores. si entendí bien entonces $\delta^{\mu\nu}$ no te transformes de la misma manera que $F^{\mu\nu}$ o $T^{\mu\nu}$ ¿hace?
@SRS: enlacé una publicación en mi respuesta donde explico en qué sentido $\delta^{\mu\nu}$ no es un tensor pero $\delta_\mu^\nu$ es - por favor léalo.

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