¿Qué significa exactamente que una función escalar sea invariante de Lorentz?

Puede parecer trivial, pero eso es lo que es.

Un escalar de Lorentz es un elemento del espacio vectorial de dimensión 0 considerado como un espacio de representación del trivial $(0,0)$representación del grupo Lorentz. En otras palabras, un escalar$s$se transforma trivialmente:

$$s \rightarrow s' = s$$

Un vector de Lorentz es un elemento del espacio vectorial de 4 dimensiones considerado como un espacio de representación del estándar $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$representación del grupo Lorentz. En otras palabras, un vector$\mathbf{v}$se transforma como:

$$\mathbf{v} \rightarrow \mathbf{v}' = \mathbf{\Lambda} \mathbf{v}$$

$\mathbf{\Lambda}$es la matriz de transformación de Lorentz.

Una función escalar , como$\phi(\mathbf{x})$asigna un vector de Lorentz a un escalar de Lorentz, es decir

$$\mathbf{x} \mapsto \phi(\mathbf{x})$$

En consecuencia, se transforma en

$$\mathbf{\Lambda x} \mapsto \phi'(\mathbf{\Lambda x}) = \phi(\mathbf{x})$$

Por lo tanto,

$$\phi' (\mathbf{x}) = \phi (\mathbf{\Lambda^{-1} x})$$ Por cierto, $$\phi' (\mathbf{x'}) = \phi (\mathbf{\Lambda^{-1} \Lambda x}) = \phi (\mathbf{x})$$

También puedes pensar en un escalar de esta manera: es una función$F$que asigna puntos del espacio-tiempo a números.

Así que si$q$es un punto en el espacio-tiempo, el representante de$F$relativo a un sistema de coordenadas$q \rightarrow x(p)$es decir,$f$, definido por$f(x(q)) = F(q)$. Si tenemos un segundo sistema de coordenadas$x' = \Lambda \cdot x$, entonces el representante de$F$con respecto al nuevo sistema de coordenadas es$f'(x'(q)) = F(q)$, asi que$f'(\Lambda \cdot x(q)) = f(x(q))$o$f'\circ \Lambda = f$o, finalmente,$f' = f \circ \Lambda^{-1}$.

El caso es que mientras$F$es independiente de cualquier sistema de coordenadas, sus representantes en diferentes sistemas de coordenadas tienen que estar relacionados de esta manera ya que todos están ligados al mismo$F$.