Si ΛΛ\Lambda no es un tensor, ¿cuál es el significado de Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} y ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} y así sucesivamente?

A raíz de esta pregunta que afirma que Λ (la matriz de transformación en el grupo de Lorentz) no es un tensor, entonces si Λ       v m es LA matriz de transformación de Lorentz, ¿cuál es el significado de Λ m v , Λ m       v y Λ m v ?

Sé cómo se relacionan con Λ       v m , Por ejemplo:

Λ m v = η m σ Λ       v σ .
Considerando el hecho de que η es de hecho un tensor y Λ es "solo un número" (bueno, solo una matriz), ¿significa esto que Λ m v es un tensor de la misma manera que si r → es un vector 3D ordinario y a ∈ R solo un numero entonces a → = a r → es un vector?

posible duplicado de physics.stackexchange.com/q/255933/84967 y enlaces en el mismo
He visto esos enlaces antes de preguntar. Allí se explica que Λ m v es el inverso, pero todavía no sé cuáles son todas las otras combinaciones. yo añadí Λ m v en mi pregunta solo para completar.

Respuestas (1)

A pesar de Λ no es un tensor, aún puede bajar y subir índices con la métrica. Después de todo, solo estás multiplicando matrices. Son útiles porque te permiten expresar el inverso de Λ de una manera conveniente. Para ser explícitos, definamos "las" matrices de transformación (las que transforman vectores) con un índice hacia arriba y otro hacia abajo:

V ′ m = Λ m v V v .

Un vector covariante se transforma con el inverso:

A m ′ = A v ( Λ − 1 ) v m .

Tenga en cuenta que Λ − 1 tiene el mismo posicionamiento en el índice que Λ , ya que la inversa de una transformación lineal (que es lo que es un tensor 1-1) también es una transformación lineal. Ahora, una propiedad definitoria de una transformación de Lorentz es que η m v = Λ α m Λ β v η α β . Multiplicando ambos lados por η v ρ ( Λ − 1 ) m λ , esto es equivalente a

( Λ − 1 ) ρ λ = η λ β η v ρ Λ β v = Λ λ ρ

que tipo de dice eso Λ − 1 = Λ T siempre que tenga cuidado con el posicionamiento del índice. De hecho, esto solo dice que las matrices de Lorentz son matrices ortogonales con respecto al producto interno de Minkowski. También nos permite recordar la ley de transformación covariante como

A m ′ = Λ m v A v

que es algo así como la versión contravariante pero con los índices invertidos. Sin embargo, personalmente me confundo y prefiero no usar nada de esto y simplemente escribir Λ − 1 cada vez que lo necesito.

Gracias por tu respuesta, aunque estaba buscando una interpretación para Λ m v y Λ m v . Y también si estos son tensores o quedan como "simples matrices".
@ user171780 Ninguno de ellos son tensores, por lo que no hay mucho que decir sobre ellos, ya que las versiones con dos índices hacia arriba o dos hacia abajo no aparecen muy a menudo. El único hecho interesante que se me ocurre es que son antisimétricos, lo que podría (o no) ayudarlo a recordar la forma explícita de una matriz de Lorentz.
Si ΛΛ\Lambda no es un tensor, ¿cuál es el significado de Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} y ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} y así sucesivamente?
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