Notación de índice y la métrica de Minkowski

Dada la métrica de Minkowski η la transformación de Lorentz Λ satisface

η = Λ T η Λ
que en forma de índice puede escribirse
η m v = ( Λ T ) m α η α β Λ v β
η m v = η α β Λ m α Λ v β
¿Cómo puedo obtener una expresión de índice para η m v a partir de esta expresión? He intentado multiplicar a través de η a b usando su propiedad de aumento de índice, pero esto no está ayudando.

A veces, los índices superiores pueden entenderse como una matriz inversa, creo que esta podría ser una de esas ocasiones.

Respuestas (1)

Uso de la propiedad de aumento de índice

η σ λ = η σ m η m v η v λ

Aplicando tu fórmula

= η σ m η α β Λ m α Λ v β η v λ

y usando la propiedad de aumento de índice nuevamente

= η α β Λ α σ Λ β λ .

¿Es esto lo que tenías en mente? Alternativamente, el η α β de la expresión final también se puede cambiar por η α β  bajando adecuadamente uno de los índices de cada una de las matrices de transformación:

η α β Λ α σ Λ β λ = η α γ η γ d η d β Λ α σ Λ β λ = η γ d Λ γ σ Λ d λ .

Esto da η m v = η σ ρ Λ σ m Λ ρ v . ¿Es posible convertir esto en la forma η m v = η σ ρ Λ ρ m Λ σ v (Tengo esto en mis notas y me pregunto si es un error).
@Watw (perdón por la respuesta tardía, claramente no uso SE con la suficiente frecuencia). Si su libro usa una notación consistente, leería esta condición como η − 1 = Λ η − 1 Λ T . Por supuesto, las matrices SO(1,3) son invertibles, por lo que si multiplicamos esto desde la izquierda por Λ − 1 y desde justo al lado ( Λ T ) − 1 , obtenemos η − 1 = Λ − 1 η − 1 ( Λ T ) − 1 = ( Λ T η Λ ) − 1 , mostrando que la condición es equivalente (dada la invertibilidad) a la original.
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