¿Por qué el producto escalar de dos cuatro vectores es invariante de Lorentz?

Francamente, estás viendo esto al revés.

Por que es$A^\mu g_{\mu\nu}B^{\nu}$Lorentz-invariante?

Eso es al revés:$A^\mu g_{\mu\nu}B^{\nu}$es invariante de Lorentz porque las transformaciones de Lorentz se definen como la clase de transformaciones que deja$A^\mu g_{\mu\nu}B^{\nu}$invariante.

Generalmente, si transformas$A^\mu$y$B^\mu$por alguna transformación lineal con la matriz de transformación$\Lambda^\mu_{\ \ \nu}$, entonces sus valores transformados serán$\tilde A^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu}A^\nu$y$\tilde B^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu} B^\nu$(utilizando sumas de Einstein). Esto significa que el producto interior transformado será

$$\begin{align} \tilde A^\mu g_{\mu\nu} \tilde B^{\nu} & = (\Lambda^\mu_{\ \ \alpha}A^\alpha) g_{\mu\nu} (\Lambda^\nu_{\ \ \beta}B^\beta) \\ & = A^\alpha (\Lambda^\mu_{\ \ \alpha} g_{\mu\nu} \Lambda^\nu_{\ \ \beta} )B^\beta \\ & = A^\mu (\Lambda^\gamma_{\ \ \mu} g_{\gamma\delta} \Lambda^\delta_{\ \ \nu} )B^\nu \qquad\qquad\text{(by re-labelling)} \\ & \stackrel{\text{required}}= A^\mu g_{\mu\nu} B^\nu. \end{align}$$ Así, por$A^\mu g_{\mu\nu} B^\nu$para ser invariante requerimos que $$A^\mu (\Lambda^\gamma_{\ \ \mu} g_{\gamma\delta} \Lambda^\delta_{\ \ \nu} )B^\nu = A^\mu g_{\mu\nu} B^\nu$$ para todos$A^\mu$y$B^\mu$, y mediante elecciones juiciosas de esos vectores (básicamente ejecutando cada uno independientemente sobre la base en uso) que solo puede ser el caso si $$\Lambda^\gamma_{\ \ \mu} g_{\gamma\delta} \Lambda^\delta_{\ \ \nu} = g_{\mu\nu},$$ que constituye el requisito básico de$\Lambda^\mu_{\ \ \nu}$para que sea una transformación de Lorentz.

Esta es la forma de pensar sobre esto: ¿por qué el producto punto euclidiano estándar,$\sum x_iy_i$¿interesante? Bueno, es interesante principalmente desde la perspectiva de las rotaciones, debido al hecho de que las rotaciones dejan los productos escalares invariantes. La razón por la que esto es así es que este producto escalar se puede escribir como$|x||y|\cos\Delta\theta$, y las rotaciones dejan invariantes las magnitudes y los ángulos relativos.

es la norma euclidiana estándar$|x|$invariante bajo las transformaciones de Lorentz? Por supuesto que no, por ejemplo,$\Delta t^2+\Delta x^2$claramente no es invariante, pero$\Delta t^2-\Delta x^2$es. Similarmente,$E^2+p^2$no es importante, pero$E^2-p^2$es. La razón por la que este es el caso es que los aumentos de Lorentz son fundamentalmente transformaciones sesgadas, lo que significa que el lugar geométrico invariante es una hipérbola, no un círculo. Así que tienes$\cosh^2 \xi - \sinh^2 \xi = 1$, y$x_0^2-x_1^2$es la forma correcta de pensar en la norma en el espacio de Minkowski.

Del mismo modo, Lorentz impulsa el cambio de la rapidez$\xi$por un simple desplazamiento, entonces$\Delta \xi$es invariante. Desde este punto, es un ejercicio simple para mostrar que

$$|x||y|\cosh\xi=x_0y_0-x_1y_1$$

(en cuanto a las dimensiones restantes, recuerde que el producto punto euclidiano estándar sigue siendo relevante en el espacio , por lo que solo necesita escribir$x_0y_0-x\cdot y=x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3$.)

un vector$\mathbf{v} = v^i \, \mathbf{e}_i = q^j \,\mathbf{u}_j$tiene diferentes componentes vectoriales ($v^i$,$q^j$en este caso) en diferentes bases ($\{\mathbf{e}\}$,$\{\mathbf{u}\}$, en nuestro ejemplo) que podemos interpretar como diferentes marcos de referencia (diferentes ejes con diferentes orígenes).

Los físicos son vagos: se refieren a los componentes del vector$v^i$como vectores, ¡lo cual es un nombre inapropiado! Un verdadero vector$\mathbf{v}$existe a lo ancho de cualquier base en la que elija trabajar, pero para conocer sus entradas debe hacer referencia a estas con respecto a una base dada: esto es solo álgebra lineal elemental.

Ahora, la magnitud de un vector es independiente de las bases que elijas para su descripción (es decir, geométricamente hablando, su longitud es fija):

$$v^2 = v^i \; v_i \, (\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_i) = q^{j} \, q_j\,(\mathbf{u}_j\cdot \mathbf{u}^j) . \tag{assuming orthonormal bases}$$

Por lo tanto, los escalares no se transforman al cambiar de base. De hecho, no tiene mucho sentido hablar de base para escalares ya que intuitivamente estos son solo números.

Sin embargo, otra forma de ver esto es considerar un escalar como un tipo especial de vector con solo una entrada y una base ortonormal (el número 1): su "longitud" también debe ser fija. Por lo tanto, este "vector" unidimensional es el mismo independientemente del marco de referencia.

Esto es cierto para todos los vectores, incluidos los cuatro vectores relativistas especiales.

Como prueba de cordura, uno de los principios de la relatividad especial es que$c$, la velocidad de la luz y un escalar, es la misma para todos los observadores. Esto no podría ser así si fuera de alguna manera diferente en diferentes marcos.