¿Índice tensorial en relatividad especial?

Aquí$\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\mu{}^\beta$representan la multiplicación de matrices. Pero en la multiplicación de matrices, los elementos en una fila deben multiplicarse con elementos en una columna y sumarse. Aquí, la notación de índice representa, cada elemento de una columna de la primera matriz se multiplica con los elementos correspondientes en otra columna de la segunda matriz, y sumado, significa que dos matrices se multiplican tomando la transposición de la primera matriz. La transpuesta de la primera matriz es$(\Lambda^\mu{}_\alpha)^T= \Lambda_\alpha{}^\mu.$Luego se convierte en cancelación de índice.$\Lambda_\alpha{}^\mu\Lambda_\mu{}^\beta=g_\alpha{}^\beta.$Así es obvio que$\alpha$representar fila y$\beta$representar la columna.

Puede verificar que estas fórmulas satisfacen$\Lambda_\mu^{\:\nu}=\eta_{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}\Lambda_{\:\sigma}^\rho$, por lo que la ecuación sobre la que preguntas se puede reescribir como$\delta_\alpha^\beta=\Lambda^\mu_{\:\alpha}\eta_{\mu\rho}\eta^{\beta\sigma}\Lambda^{\:\rho}_\sigma$, que usa solo la primera versión de la transformación de Lorentz. De manera similar, podría cambiar para usar solo la segunda visualización.$\Lambda^\mu_{\:\nu}=\eta^{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}\Lambda_\rho^{\:\sigma}$. Las dos conversiones son equivalentes porque