Paso 1

Permítanme formular el problema para transmitir mi notación. tengo una matriz$A$que es hermitiano - y es diagonalizable por una transformación

$$U_A A\,\,U_A^{-1} = A_{diag}$$

Ahora se cambia la matriz, usando el pequeño parámetro$\lambda$. Por lo tanto,

$$A \rightarrow A-\lambda B$$ dónde $B$puede no ser hermitiano, en general.

Traté de calcular los cambios de primer orden en valores propios y vectores propios de la siguiente manera:

Paso 2

La matriz$A-\lambda B$tiene que ser rotado por$U^\prime = e^{i\lambda \alpha}U_A$ser diagonalizado,$\alpha$ser un generador de rotación, y tiene sentido que la rotación "extra" tenga que ser proporcional a$\lambda$.

$$A^\prime_{diag} = A_{diag} + C_1\lambda + C_2\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$$

Escribí esto usando la fórmula BCH y establecí el coeficiente lineal,$C_1= 0$y obtuve la restricción$U_AB\;U_A^{-1} = \left[i\alpha,A_{diag}\right]$.

El formulario final que obtuve para$A^\prime_{diag}$era

$$A^\prime_{diag} = A_{diag} -\frac{1}{2}\left[i\alpha,U_AB\;U_A^{-1}\right]\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$$

Pregunta

¿Alguien puede decirme si -

1. Estoy en el camino correcto, y cómo proceder desde aquí para resolver$\alpha$en términos de las matrices conocidas.

2. Necesito abordar esto de manera diferente.

3. ayudaría si$B$eran hermitianos?

EDITAR

Este es exactamente el problema de hacer la teoría de la perturbación usando la transformación SW. ¿Alguien puede citar una referencia?