Estructura fina independiente del espín del protón "Hamiltoniana" WfWfW_f

Entonces, quieres diagonalizar un operador en un subespacio.

Específicamente quieres diagonalizar$W_f^n$, la restricción de$W_f$al espacio propio asociado a$E_n^0$.

[Desde]$W_f$no depende del espín del protón, es posible dividir por 2 la dimensión del problema ($\frac{g_n}{2} X \frac{g_n}{2}$matriz en lugar de$g_n X g_n$matriz).

Si un vector propio en$E_n^0$parece una combinación lineal de$\{\Psi_n\otimes|+\rangle,\Psi_n\otimes|-\rangle\}$donde el$|\pm\rangle$es el espín del protón, entonces nos importa cómo$W_f$actúa sobre un vector arbitrario en el lapso de$\{\Psi_n\otimes|+\rangle,\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$

Ahora supongamos que encontramos algunas funciones específicas$(\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_k)$que son ortogonales y tales que$W_f\Phi_i\otimes|+\rangle=\alpha_i\Phi_i\otimes|+\rangle$entonces el operador es diagonal (esta es la versión de la mitad de la dimensión del problema). Si podemos resolverlo (es decir, encontrar el$(\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_k)$que satisfacen$W_f\Phi_i\otimes|+\rangle=\alpha_i\Phi_i\otimes|+\rangle$) entonces, dado que la perturbación no dependía del espín del protón, también obtenemos$W_f\Phi_i\otimes|-\rangle=\alpha_i\Phi_i\otimes|-\rangle$esto significa que$\{\Phi_k\otimes|+\rangle,\Phi_k\otimes|-\rangle\}$es un conjunto de autovectores ortogonales (la ortogonalidad sigue ya que$(\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_k)$son ortogonales).

Así que tenemos un montón de vectores propios ortogonales, si hay suficientes, hemos terminado, hemos diagonalizado la matriz. Entonces el lapso de$\{\Psi_n\otimes|+\rangle,\Psi_n\otimes|-\rangle\}$era de dimensión$g_n$entonces$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$es$g_n/2$dimensional. Entonces, si este problema más pequeño se puede diagonalizar, entonces estamos bien.

¿Es obvio que es diagonalizable? Ni siquiera es obvio que es un operador, puede restringir su dominio, pero para ser un operador, el rango debe estar en el dominio (o tal vez el cierre del dominio si le gustan los operadores ilimitados). Puede proyectar en el dominio forzarlo o ser un operador. (Para que la proyección compuesta con la función sea un operador). Entonces aún debe preguntarse si es diagonalizable. Entonces necesitamos saber si hay suficientes vectores propios en el espacio reducido.

¿Es la perturbación$W_f$hermitiano?

Si es así, eso resuelve el problema anterior. Si el objetivo es aproximarse a un operador hermitiano, entonces tener perturbaciones hermitianas es razonable, pero no es obvio que tenga que ser hermitiano. Sin embargo, podemos argumentar que si el operador de perturbación es hermitiano en el espacio más grande, entonces podemos hacer que la restricción al problema más pequeño sea diagonalizable.

Para eso, queremos mostrar que la diagonalización puede ocurrir y tiene valores propios reales. Si sabemos que la diagonalización ocurre (con valores propios reales) en el espacio más grande, entonces cualquier vector propio$A\otimes(\alpha_+|+\rangle\alpha_-|-\rangle)$con valor propio$a\in\mathbb R$implica el estado$A\otimes(\alpha_+|+\rangle-\alpha_-|-\rangle)$es también un vector propio con el mismo valor propio y, por lo tanto, se abarca todo el espacio, ya que solo difiere en el espín del protón. Y por lo tanto también lo es$A\otimes|+\rangle$y$A\otimes|-\rangle.$Entonces también podríamos reemplazar todos los demás vectores propios con el mismo valor propio (si lo hay) con uno ortogonal a ambos (restringido al subconjunto del espacio propio que es ortogonal a esos dos y diagonalizado, es diagonalizable en todo el espacio propio es un múltiplo de la identidad en ese espacio propio). Así que seguimos haciendo eso (usando el lema de Zorn si es necesario) hasta que tengamos vectores propios que estén todos en el espacio generado por$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$o en el espacio ocupado por$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$Había$g_n$vectores propios en un espacio más grande, cada uno fue reemplazado con un vector en el lapso de$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$o en el lapso de$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$(Ya sea directamente o cuando uno de los otros estaba colocado en uno pero el punto es que teníamos una diagonal donde todos los$g_n$Los autovectores están en un lapso de$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$o en el lapso de$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$)

Dado que los vectores propios en el espacio más grande eran ortogonales y distintos de cero, eran linealmente independientes. Así que los que están en el lapso de$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$son linealmente independientes y las que están en el lapso de$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}$Ade linealmente independiente. Como esos espacios son de dimensión$g_n/2$(asumiendo$g_n$es finito por lo que la división tiene sentido) entonces hay como máximo$g_n/2$vectores en cada uno. Si intentaste poner$m$menos en una que las otras necesidades tienen$g_n/2+M$para que sumen$g_n$vectores pero eso excedería$g_n/2$para el otro entonces debe haber$g_n$exactamente en cada uno. Eso es exactamente suficiente para que el restringido sea diagonalizable. Pero todos estos tienen valores propios reales, por lo que son hermíticos.

Eso significa que cuando buscamos vectores propios del problema más pequeño, pudimos encontrar$g_n/2$vectores propios ortogonales con valores propios reales, es hermitiano, por lo que podría hacerse.

¿Por qué podríamos subdividir la matriz cuando aún no está diagonalizada?

Estoy diciendo que si diagonalizaste el$g_nxg_n$matriz, entonces puede bloquear la diagonalización de acuerdo con los espacios propios, luego, para cada espacio propio, encuentre un vector V y luego sus proyecciones en los dos$g_n/2$los espacios dimensionales estarán en el mismo espacio propio y dos vectores ortogonales cualesquiera en ese espacio propio son vectores propios. Así que podemos elegir uno, proyectarlo tanto en el$g_n/2$espacios dimensionales y si uno de ellos da cero tomar el otro y reemplazar el$|\pm\rangle$con$|\mp\rangle$así que terminamos con dos vectores hacia abajo, luego elegimos un vector aleatorio en el espacio propio que sea ortogonal a todos los que tenemos hasta ahora y repetimos. Entonces obtienes tus vectores propios para la matriz grande para que sean todos los vectores en los dos$g_n$espacios dimensionales. Así, la restricción al espacio más pequeño es un operador y es diagonalizable.