Algunas preguntas sobre la transformación simpléctica

1. Desde$[,]$no es degenerado, debería haber tal vector propio$\eta$correspondiente al valor propio$\lambda'$para el vector propio$\xi$correspondiente al valor propio$\lambda$eso$[\xi, \eta] \neq 0$, que sólo es posible si$\lambda' = \bar{\lambda}$. Así, el plano invariante bidimensional$\pi_\lambda$es no nulo.

2. Desde$\xi$es un vector real, hay un número$a$tal que$\xi = a\xi_1 + \bar{a}\xi_1$, dónde$\xi_1$es el vector propio con el valor propio$\lambda$. Entonces

$$[S(a\xi_1 + \bar{a}\bar{\xi}_1), a\xi_1 + \bar{a}\bar{\xi}_1] = (\lambda - \bar{\lambda}) |a|^2 [\xi_1, \bar{\xi}_1] = (2|a|^2 Im \lambda) i(I\xi_1, \xi_1),$$ cuyo signo es independiente de $a$, es decir, independiente de $\xi$. Tenga en cuenta que $i(I\xi_1, \xi_1)$es un número real.

3.Denota$(G\xi,\xi) = i(I\xi_1, \xi_1)$, y denota$S$por$M$. Asumir$M$es estable y todos sus valores propios son definidos por Krein. Si$M$no es fuertemente estable, habría$\{M_n\}$de matrices simplécticas inestables que convergen a$M$. Cualquiera$M_n$tiene valor propio fuera del círculo unitario, o$M_n$tiene un valor propio en el círculo unitario que no es semisimple. Así, hay un$G$-vector propio de unidad isotrópica$x_n$:

$$M_n x_n = \lambda_n x_n,~(Gx_n, x_n) = 0.$$ Desde $\lambda_n$es una raiz de $|M_n - z I|$, podemos extraer de la secuencia $\lambda_n$una subsecuencia que converge a una raíz de $M - zI$, es decir $x_n \rightarrow x, \lambda_n \rightarrow \lambda$. Entonces $(Gx,x) = 0$lo cual es imposible ya que todos los valores propios de $M$es Krein-definido.

Por el contrario, suponga$M$es fuertemente estable. Entonces todos los valores propios de$M$se encuentran en el círculo y son semi-simples. Para cada valor propio$\lambda$con parte imaginaria positiva, podemos elegir en el espacio propio$Ker(M-\lambda I)$a$G$-base ortogonal, digamos$[\xi_1, \cdots, \xi_m]$con$(G\xi_k,\xi_k) = \pm 1$. Podemos tomar$[\bar{\xi_1},\cdots,\bar{\xi_m}]$como base para el espacio propio conjugado$Ker(M-\bar{\lambda} I)$. Si$\pm 1$es un valor propio, el espacio propio correspondiente es real e incluso dimensional; podemos elegir su$G$-base ortogonal para ser$[\xi_1,\cdots,\xi_m,\bar{\xi_1},\cdots,\bar{\xi_m}]$con$(G\xi_k,\xi_k)=1=-(G\bar{\xi}_k,\bar{\xi}_k)$. Poniendo todo junto, obtenemos un$G$-base ortonogonal de vectores propios de$[\xi_1,\cdots,\xi_n,\bar{\xi}_1,\cdots,\bar{\xi}_n]$para$C^{2n}$. Tenemos$(G\xi_k,\xi_k)=-(G\bar{\xi}_k,\bar{\xi}_k)$, ay reorganizando la base, podemos suponer que$(G\xi_k,\xi_k)=1$para$1 \leq k \leq n$.

Supongamos que hay un valor propio$\lambda$que no es definitivo. Debe tener dos vectores propios con opssite$G$-normas, digamos$\xi_1$y$\bar{\xi}_1$si$\lambda = \pm 1$, y$\xi_1, \xi_2$si$\lambda \neq \pm 1$. Definir una transformación lineal$M_\tau$configurando :

$$M_\tau \xi_1 = \lambda(\xi_1 cosh\tau + \bar{\xi}_1 sinh\tau), M_\tau \bar{\xi}_1 = \lambda(\xi_1 sinh\tau + \bar{\xi}_1 cosh\tau),$$ si $\lambda = \pm 1$, y $$M_\tau \xi_1 = \lambda(\xi_1 cosh\tau + \xi_2 sinh\tau), M_\tau \xi_2= \lambda(\xi_1 sinh\tau + \xi_2 cosh\tau),$$ si $\lambda \neq \pm 1$, y $M_\tau = M$en el subespacio invariante generado por el otro $\xi_k$.

Por construcción,$M_\tau$es real (es decir$M_\tau R^{2n} \subset R^{2n}$), y simpléctica como comprobamos fácilmente. Por otro lado$\xi_1 + \bar{\xi}_1$(si$\lambda = \pm 1$) o$\xi_1 + \xi_2$(si$\lambda \neq \pm 1$) es un vector propio de$M_\tau$con el valor propio$\lambda e^\tau$, que está fuera del círculo unitario si$\tau > 0$. Entonces$M_\tau$no es estable y$M_\tau \rightarrow M$cuando$\tau \rightarrow 0$. Esto contradice el hecho de que$M$es fuertemente estable.

Árbitro:

1. Sección 42 de Arnold 'Métodos matemáticos de la mecánica clásica'.
2. Capítulo 1 de 'Métodos de convexidad en la mecánica hamiltoniana' de Ivar Ekeland.