¿Qué significa realmente |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (imagen de Heisenberg)?

Question

¿Qué significa realmente |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (imagen de Heisenberg)?

usuario35952

Estoy bastante confundido con esta notación, creo. Los estados de Heisenberg se denotan por $\left|x,t\right>$ y los estados de Schrödinger están dados por $\left|x(t)\right>$ . Parece que ambos están parametrizados con el tiempo, pero el estado de Schrödinger está parametrizado a través del vector de posición,

Pero entonces, en el caso de la imagen de Heisenberg, ¿el estado está parametrizado usando dos variables? $x,t$ ? ¿Qué es este espacio vectorial lineal?

En segundo lugar, en el caso del operador de posición en la imagen de Heisenberg $\hat X_H(t)$ la ecuación de valores propios se da así,

{\hat{X}}_{H} (t) | X, t ⟩ = X | X, t ⟩ .

$\hat X_H(t)\left|x,t\right> = x\left|x,t\right> .$ Entonces, ¿eso significa que por cada vez

t

$t$ de

{\hat{X}}_{H} (t)

$\hat X_H(t)$ hay un valor propio

x

$x$ con el vector propio

| x, t ⟩

$\left|x,t\right>$ . Entonces eso significa

{\hat{X}}_{H} (t^{'}) | X, t ⟩ = 0 .

$\hat X_H(t')\left|x,t\right> = 0 .$

Respuestas (2)

¿Qué significa realmente |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (imagen de Heisenberg)?

qmecanico · Answer 1

I) Recuerde que en la imagen de Heisenberg , los operadores [como, por ejemplo, el operador de posición $\hat{X}(t)$ ] evolucionar en el tiempo $t$ , mientras que los estados (kets y bras) son independientes del tiempo $t$ .

En particular, un estado propio de posición instantáneo $| x_0,t_0 \rangle_H$ en el cuadro de Heisenberg no depende del tiempo $t$ , cf. Árbitro. 1. Un autoestado de posición instantáneo satisface

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \hat{X} (t = t_{0}) | X_{0}, t_{0} ⟩_{H} = & X_{0} | X_{0}, t_{0} ⟩_{H}, \\ _{H} ⟨ X_{1}, t_{0} | X_{2}, t_{0} ⟩_{H} = & d (X_{1} - X_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \hat{X}(t\!=\!t_0)| x_0,t_0 \rangle_H~=~&x_0| x_0,t_0 \rangle_H, \cr {}_H\langle x_1,t_0 | x_2,t_0 \rangle_H~=~&\delta(x_1\!-\!x_2).\end{align}\tag{1}$

Es importante recalcar que no existen requisitos para $| x_0,t_0 \rangle_H$ para $t\neq t_0$ .

II) Una aplicación típica de estados propios de posición instantánea [por ejemplo, en relación con el procedimiento de división de tiempo para la integral de trayectoria de Feynman , cf. Árbitro. 1] es descomponer el operador unitario ${\bf 1}$ a través de una representación integral de estados propios de posición instantánea

\begin{matrix} (2) & 1 = \int_{R} d X_{0} | X_{0}, t_{0} ⟩_{H H} ⟨ X_{0}, t_{0} | . \end{matrix}

${\bf 1}~=~ \int_{\mathbb{R}} \! d x_0 ~|x_0,t_0 \rangle_{H~H}\langle x_0,t_0 |.\tag{2}$

Referencias:

JJ Sakurai, Mecánica Cuántica Moderna, 1994; Sección 2.1 y Sección 2.5.

mantequilla de maní · Answer 2

Creo que tu confusión se debe a la diferencia entre las dos imágenes. Para la imagen de Schrödinger, los estados $\left|{x(t)}\right>$ puede evolucionar en el tiempo, mientras que los operadores son fijos. Sin embargo, para la imagen de Heisenberg, los estados son fijos y no evolucionan con el tiempo, sino que los operadores evolucionan con el tiempo.

Imagen de Schrödinger : Dado un ket base, $\left|x\right>$ , podemos evolucionarlo a tiempo para obtener $\left|x(t)\right> = U(t)\left|x\right>$ , dónde $U(t) = e^{-iHt / \hbar}$ es el operador de evolución temporal. La ecuación de valores propios es ahora:

X | X (t) ⟩ = X (t) | X (t) ⟩

$X \left|x(t)\right> = x(t)\left|x(t)\right>$

Imagen de Heisenberg : Ahora el estado está arreglado $\left|x\right>$ , pero evolucionamos el operador. $X(t) = U^\dagger(t) X U(t)$ , dónde $U(t)$ es el mismo operador de evolución temporal que antes. La ecuación de valores propios ahora dice:

X (t) | X ⟩ = X (t) | X ⟩

$X(t) \left|x\right> = x(t)\left|x\right>$

EDITAR: Entonces, para responder las dos primeras preguntas, el estado está etiquetado como $\left|x,t\right>$ para indicar que es un estado fijo en algún momento $t$ , sigue siendo parte del espacio de Hilbert. Para las próximas dos preguntas, para cada vez $t$ de $X(t)$ , hay un valor propio $x(t)$ . no se a que hora te refieres $t'$ , pero en general no, no es cero.

Lo siento, pero no entiendo cómo responde esto a mi pregunta. Entiendo todo lo que has dicho. Si el estado no tiene dependencia del tiempo, ¿cuál es la razón para elegir la notación? $\left|x,t\right>$ . ¿Significa decir que cada estado en sí mismo tiene parametrización temporal por sí mismo a diferencia del caso de Schrödinger? Esto tampoco responde a la última ecuación de la pregunta.
Respondí las preguntas de manera más específica, pero no estoy seguro acerca de algunas de las notaciones que usó.

¿Qué significa realmente |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (imagen de Heisenberg)?

usuario35952

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qmecanico

mantequilla de maní

usuario35952

mantequilla de maní

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