¿Cuál es el significado físico de los valores propios complejos?

Entiendo el origen matemático de los valores propios complejos y que los valores propios complejos vienen en pares . Pero, ¿cuál es el significado de la parte imaginaria? En particular, me refiero a un problema acústico (ecuación de Helmholtz) junto con vibraciones de placas: los valores propios representan frecuencias, entonces, ¿cuál es el significado físico de dos valores propios con el mismo valor real y valores imaginarios opuestos (conjugados)? ¿Cuál es el significado de valores propios imaginarios puros?

Esto es 100% una suposición ya que no trabajo en acústica, pero si la frecuencia es compleja, entonces la parte imaginaria probablemente sea un cambio de fase.
La parte imaginaria representa el amortiguamiento. Si escribes una función armónica con exponencial mi i ( ω + i λ ) t = mi i ω t mi − λ t , entonces el exponente real ω representa la frecuencia y el coeficiente de la parte imaginaria λ es la constante de amortiguamiento. Negativo λ conduce a soluciones exponencialmente crecientes.
@Sparkler: la pregunta es incorrecta. Para pedir un sentido físico, debe especificar los valores propios de lo que considera ( sea A un operador lineal/matriz de... ). El operador de Laplace (de la ecuación de Helmholtz) se autoconjuga, por lo que sus valores propios son necesariamente reales y no es un buen candidato para preguntar sobre el significado de la parte imaginaria ☺
¿podría por favor proporcionar referencia?
@Sparkler: ¿sobre la autoadjunción (nota Ī usó un término no estándar en el comentario anterior) del Laplaciano? En mi humilde opinión, cualquier libro de texto sobre la teoría del operador que considere este operador en absoluto. También puede buscar "valores propios laplacianos" en Internet.
Mejoré la pregunta y publiqué una pregunta relacionada con el operador en matemáticas .
Si está hablando de los valores propios del operador de evolución temporal (es decir, el hamiltoniano), entonces la parte imaginaria es 1/Tiempo de vida del sistema. Vea esta respuesta: physics.stackexchange.com/questions/481884/…

Respuestas (2)

Para profundizar en uno de los comentarios...

No hay significado físico para un número complejo... hasta que le das uno.

La razón por la que los números complejos aparecen en la solución de la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz y el oscilador armónico es que continuamos el campo, la presión o lo que sea, en el plano complejo para que la ecuación sea más fácil de resolver. Podría evitar esto toda su vida y asumir una superposición de funciones reales y resolver coeficientes, etc., como se enseña en los libros de texto básicos de ecuaciones diferenciales elementales.

El uso de un campo complejo para los problemas hace que resolverlos sea un poco más fácil, pero debe tomar la parte real de su respuesta.

Pero al final, cuando tienes amortiguamiento en un sistema, los "valores propios complejos" tendrán una parte real e imaginaria. Si asume una solución de la forma pag = pag 0 mi i k X etc., entonces la parte real de k describirá las oscilaciones mientras que la parte imaginaria de k describirá el amortiguamiento o la atenuación en el campo. Si asume una solución de la forma pag = pag 0 mi k X entonces el significado cambia. Como puede ver, no solo la naturaleza "compleja" depende de cómo resuelve la ecuación, sino que el "significado físico" depende de la representación.

Lo que será interesante sobre la solución integrada de la ecuación no lineal de Navier-Stoks. Si en ecuaciones lineales puedes tomar la parte real y obtienes una solución real, entonces esto es imposible en ecuaciones no lineales. La suma de dos decisiones no es una decisión. Si sumamos las soluciones compleja y conjugada compleja y dividimos por dos, entonces no obtendremos una solución a una ecuación no lineal. En el caso de una solución compleja no lineal de una ecuación, se necesita una fórmula especial para convertirla en una solución real. Debemos pensar en el sentido físico de una solución turbulenta compleja. Una parte imaginaria de una solución turbulenta compleja significa la desviación cuadrática promedio de la parte real, que es el valor promedio de la solución. Existe una fórmula final para recalcular una solución turbulenta compleja en una solución real.

d X k d t = R mi V k ( X 1 , X 2 , X 3 ) + i I metro V k ( X 1 , X 2 , X 3 )
X k = X k ( t , t 0 , X 10 , X 20 , X 30 )

En este caso, las condiciones iniciales son complejas. La solución compleja se vuelve a calcular en una solución real mediante la fórmula. Pero el valor rms puede tener signo más o menos, por lo que debe multiplicarse por un seno con fase variable. La frecuencia de oscilación de un flujo turbulento está determinada por la velocidad del rotor, así que utilicé esta fórmula para la frecuencia.

y k ( t , t 0 , X 10 , X 20 , X 30 ) = R mi X k ( t , t 0 , X 10 , X 20 , X 30 ) +
+ I metro X k ( t , t 0 , X 10 , X 20 , X 30 ) s i norte [ ∫ 0 t mi k pag q ∂ V q ∂ X pag d t + a r gramo ( X k 0 ) ]
El resultado son líneas de corriente reales que oscilan caóticamente con un promedio igual a la parte real.

Como está escrito actualmente, su respuesta no está clara. Edite para agregar detalles adicionales que ayudarán a otros a comprender cómo esto aborda la pregunta formulada . Puede encontrar más información sobre cómo escribir buenas respuestas en el centro de ayuda .
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