¿Cómo afecta la representación matricial de un hamiltoniano a los valores propios?

Supongamos que nos dan el siguiente hamiltoniano:

$$\hat{H}=\frac{\omega}{\hbar} \left(\hat{S}_+^2+\hat{S}_-^2\right)$$ Supongamos también que medimos$\vec{S}^2$y obten$6\hbar^2$, es decir, reducido a la$s=2$subespacio, y quiero encontrar todas las energías posibles (también conocidas como los valores propios del operador hamiltoniano en la base relevante).

Obviamente, la base relevante consiste en los estados propios$\{|2,m\rangle\}$del operador de proyección de espín. Calculé los elementos de la matriz de$\hat{H}$en esta base y obtuve lo siguiente$5\times 5$matriz:

$$\hat{H}=\hbar \omega \begin{pmatrix} ~ & |2,2\rangle & |2,1\rangle & |2,0\rangle & |2,-1\rangle & |2,-2\rangle\\ |2,2\rangle & 0 & 0 & 2\sqrt{6} & 0 & 0\\ |2,1\rangle & 0 & 0 & 0 & 6 & 0\\ |2,0\rangle & 2\sqrt{6} & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt{6}\\ |2,-1\rangle & 0 & 6 & 0 & 0 & 0\\ |2,-2\rangle & 0 & 0 & 2\sqrt{6} & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Se puede demostrar que los valores propios son$E=\pm 4 \sqrt{3} \hbar \omega, \pm 6\hbar \omega , 0$, que en efecto es correcto. Sin embargo, calcularlos fue un poco tedioso.

Ahora, resulta que existe una representación matricial más simple de$\hat{H}$en la misma base . Tiene que ver con la estructura especial del hamiltoniano que tiene operadores tanto de subida como de bajada al cuadrado. Esto naturalmente divide la base en dos grupos:$\{ |2,2\rangle, |2,0\rangle,|2,-2\rangle \}$y$\{ |2,1\rangle, |2,-1\rangle \}$que se cierran bajo las acciones de$\hat{S}^2_{\pm}$. Por lo tanto, podemos reordenar la base y obtener la siguiente forma de bloque diagonal

$$\hat{H}=\hbar \omega \begin{pmatrix} ~ & |2,1\rangle & |2,-1\rangle & |2,2\rangle & |2,0\rangle & |2,-2\rangle\\ |2,1\rangle & 0 & 6 & 0 & 0 & 0\\ |2,-1\rangle & 6 & 0 & 0 & 0 & 0\\ |2,2\rangle & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt{6} & 0\\ |2,0\rangle & 0 & 0 & 2\sqrt{6} & 0 & 2\sqrt{6}\\ |2,-2\rangle & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt{6} & 0 \end{pmatrix}$$

lo cual es muy conveniente porque ahora para encontrar los valores propios podemos analizar dos matrices más pequeñas. Afortunadamente, los valores propios resultan ser los mismos.

Pregunta : sabemos por álgebra lineal que, en general, intercambiar/cambiar el orden de las filas/columnas (que es exactamente lo que sucedió aquí) cambia los valores propios. Sin embargo, en este caso los valores propios permanecieron iguales. Entiendo la razón física detrás de esto, pero ¿cómo se puede justificar matemáticamente? Supongamos que no supiéramos nada sobre la estructura del hamiltoniano (o, alternativamente, no fuéramos lo suficientemente inteligentes como para reconocer que la base se puede dividir convenientemente en dos subgrupos "especiales"). ¿Existe una forma matemática de encontrar el "mejor" ordenamiento de los vectores base de modo que la representación matricial de un operador dado asuma una forma de bloque diagonal? ¿Y existe una justificación matemática de por qué los valores propios siguen siendo los mismos después de cambiar el orden de las filas/columnas? ¿Quizás tiene que ver con el hecho de que la matriz (operador) es simétrica (hermitiana)?