Transformación de Lorentz del estado de vacío

Como se ha mencionado en los comentarios, se supone que el QFT tiene un estado de vacío que es aniquilado por$P^\mu$. Este es realmente un punto muy importante, ya que es una de las diferencias cruciales entre la QFT de espacio plano y la QFT de espacio-tiempo curvo. Esto se explica en el libro QFT in Curved spacetime de Wald. Esencialmente, en las teorías cuánticas, la "estructura cinemática" está fijada por las relaciones de conmutación canónicas entre la posición canónica y los momentos (campos y momentos conjugados en QFT). En QM no relativista hay un número finito de grados de libertad, por lo que el teorema de Stone von-Neumann te dice que hay un espacio de Hilbert único y una elección de operadores en el espacio de Hilbert. El teorema no se cumple para un número infinito de grados de libertad (QFT), y en realidad hay infinitas opciones no equivalentes para el espacio de Hilbert para campos cuánticos. En el espacio-tiempo plano, el requisito de que exista un estado tal que$P^{\mu}|0\rangle=0$elige un espacio único de Hilbert. En los espacio-tiempos curvos que, en general, no tienen vectores de muerte, no está claro cómo identificar un único espacio de Hilbert, y esta es una gran dificultad en el espacio curvo QFT.

Entonces la respuesta es que se supone$P^\mu|\Omega \rangle =0$y esta es una suposición muy importante.

Aunque el procedimiento de resta que mencionas se usa en muchos libros de texto, no creo que sea realmente la solución correcta. El argumento suele ser que el término de resta no es observable, ya que solo aporta una fase a la matriz s y solo medimos las diferencias de energía, pero esto realmente no se sostiene cuando la gravedad o la supersimetría están en la imagen. De hecho, como usted nota, no está claro que el álgebra de Poincaré se cierre bajo tal resta.

Los operadores en dos teorías con diferentes hamiltonianos no necesitan ser los mismos, solo necesitan cambiar de tal manera que el Álgebra de Poincaré todavía se cierre. Si tuvieras un hamiltoniano original$H_0$y lo perturbaste por$H_0\to H= H_0+V$, luego enviando$H \to H-E_0$básicamente equivale a perturbar el hamiltoniano$H_0$por$V-E_0$. Para perturbaciones construidas a partir de campos locales de una manera invariante de Lorentz, siempre es posible alterar el álgebra de tal manera que incluso en la teoría de interacción el álgebra se cierra.

De hecho, esta es básicamente la respuesta a la pregunta: ¿Qué tipo de perturbaciones puedo agregar al hamiltoniano que dan como resultado una teoría invariante de Lorentz que obedece al principio de descomposición de conglomerados? Voy a esbozar cómo va el argumento.

En la teoría libre tenemos estados de la forma$a_p^{\dagger}...|0\rangle$. Esta es la definición habitual de nuestro espacio libre de Hilbert. Considerar$[K^0_i,H_0]=-iP_i$. Queremos que la etiqueta de momento signifique lo mismo después de la perturbación (solo alteramos nuestras energías) pero enviamos$H_0\to H_0+V$. Así que ingenuamente tomamos un término$[K_i^0,V]$. Requerir que estos dos operadores se trasladen es una restricción demasiado fuerte. Entonces, en lugar de eso, permitimos$K_i^0 \to K_i^0+K_i^V$tal que

$$\begin{equation} [K^0,V]+[K^V,H_0]+[K^V,V]=0 \end{equation}$$ Uso de las relaciones de conmutación $[a,a^{\dagger}]$, etc. puede demostrar que si V es de la forma $$\begin{equation} V=\int d^3x \mathcal{V}(\phi(\vec{x})) \end{equation}$$ dónde $\phi(\vec{x})$es un campo local construido a partir de los operadores de creación y aniquilación, luego una solución $$\begin{equation} K^V_i=\int d^3x x_i\mathcal{V}(\phi) \end{equation}$$ cierra el álgebra (realmente solo necesita verificar el conmutador que menciona). Esto no quiere decir que los QFT locales sean la única forma de construir sistemas cuánticos invariantes de Lorentz, simplemente dice que los QFT locales son algunas de las soluciones.

El problema es ese$E_0$no está construido a partir de campos locales y ni siquiera se puede escribir de manera local en un QFT de volumen infinito. Querrías algo de la forma$V=\int d^3x \frac{E_0}{V}$. Para tal perturbación$K_V=0$y no podemos satisfacer

$$\begin{equation} [K^V_i,P_j]=\delta^{ij}E_0 \end{equation}$$ Esto no es tan sorprendente ya que agregar una constante a $P^0$pero no $P_i$no es realmente invariante de Lorentz.

Entonces, en mi opinión, la resta es más un truco que funciona, ya que solo calculamos realmente$|\langle out| S|in \rangle|^2$por lo que no importa.