Clasificación de Weinberg de estados de una partícula y representaciones del grupo de Poincaré

Una representación de un grupo.$G$es un par$(\rho, V)$dónde$V$es un espacio vectorial y$\rho : G\to GL(V)$es un homomorfismo. Si$V$es en realidad un espacio de Hilbert y$\rho : G\to \mathcal{U}(V)$mapas en el grupo unitario de$V$y es fuertemente continua, entonces$\rho$es una representación unitaria.

En la sección 2.5, Weinberg se propone estudiar la clasificación de los estados de una partícula. Lo que hace es:

1. Primero se da cuenta de que la representación unitaria$(U,\mathscr{H})$del grupo de Poincaré da lugar a los operadores de cantidad de movimiento$P^\mu$. Luego considera la base de los estados propios de$P^\mu$, a saber$\Psi_{p,\sigma}$.

2. Entonces se da cuenta de que$U(\Lambda) = U(\Lambda, 0)$- la restricción de$U$al grupo de Lorentz ortocrónico adecuado - cuando se actúa sobre$\Psi_{p,\sigma}$produce un vector propio de$P^\mu$con valor propio$\Lambda^\mu_\nu p^\nu$. Por lo tanto, se encuentra en el espacio propio asociado a$\Lambda p$ser

   $$U(\Lambda) \Psi_{p,\sigma}=\sum_{\sigma'} C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p) \Psi_{\Lambda p,\sigma'}.$$

3. Él dice lo siguiente (que es lo que me confunde):

   En general, puede ser posible mediante el uso de combinaciones lineales adecuadas de los$\Psi_{p,\sigma}$para elegir el$\sigma$etiquetas de tal manera que la matriz$C_{\sigma'\sigma}(\Lambda,p)$es bloque-diagonal; en otras palabras, para que el$\Psi_{p,\sigma}$con$\sigma$dentro de cualquier bloque por sí mismos proporcionan una representación del grupo no homogéneo de Lorentz. Es natural identificar los estados de un tipo de partícula específico con los componentes de una representación del grupo de Lorentz no homogéneo que es irreducible, en el sentido de que no puede descomponerse más de esta manera.

Ahora, me estoy perdiendo el punto de Weinberg. Parece que en realidad está hablando de reducibilidad completa, es decir, la propiedad de que las representaciones pueden descomponerse en otras irreducibles.

Sin embargo, parece que para grupos como el grupo de Poincaré, la reducibilidad completa no es algo trivial de derivar; he leído en esta discusión que en realidad requiere integrales directas.

Entonces, parece que para lidiar con estas complicaciones, que parecen provenir de las traducciones, Weinberg está cambiando a una base de generadores de traducciones.

Pero, ¿cómo funciona eso realmente? ¿Por qué para entrar en la reducibilidad completa para el grupo de Poincaré, es una buena idea hacer esto? Por cierto, ¿por qué esto da una reducibilidad completa? ¿Está mirando "cada espacio propio de$P$En seguida"?

También lo que quiere decir que con$\sigma$en cada bloque$\Psi_{p\sigma}$proporcionar una representación del grupo de Poincaré? Quiero decir,$U$es una representación, y si simplemente restringimos su acción a un subespacio de$\mathscr{H}$seguirá siendo así.

Entonces, ¿cómo entender el argumento de Weinberg (que parece ser sobre la reducibilidad completa) y cómo se conecta con la teoría de la representación "más habitual"?