¿Están cuantificadas las cargas U(1)U(1)\mathrm U(1)?

Para ser específico, consideraré aquí el caso de la carga eléctrica.

Hay dos modelos que pueden explicar la cuantización de la carga eléctrica.

1. Cuando el generador de carga eléctrica es uno de los generadores de un gran grupo simple roto (como en el modelo de Georgi-Glashow), la carga eléctrica se representa mediante una matriz que actúa sobre una función de onda vectorial. Esta transformación no es proyectiva, por lo tanto, para tener una acción adecuada, la carga debe cuantificarse.

2. En el escenario Kaluza-Klein. aquí la carga es en realidad la velocidad en la quinta dimensión. Si la quinta dimensión es un círculo, entonces tendrá lugar una cuantización de la carga eléctrica similar a la cuantización del momento de una partícula que se mueve en un círculo.

El operador unitario$U~=~e^{i\theta}$tiene como argumento general una fase. El ángulo$\theta$no es directamente el cargo.

Pensemos en el efecto Aharonov-Bohm. Esta es una fase inducida en una partícula cargada que pasa sobre un solenoide muy largo con un campo magnético.$\vec B$adentro. La fase inducida es

$$\psi~\rightarrow~e^{ie/\hbar\oint{\vec A}\cdot d\vec x}$$ donde la integración del lazo es alrededor del solenoide. Ahora la regla de Stoke nos dice que $$e/\hbar\oint{\vec A}\cdot d\vec x~=~e/\hbar\iint\nabla\times{\vec A}\cdot d\vec a ~=~-e/\hbar\iint{\vec B}\cdot d\vec a.$$ el vector $\vec a$es un señalamiento normal de la apertura del solenoide y la última integral es entonces un resultado de la ley de Gauss que da la carga del monopolo magnético efectivo $g$. Para eliminar la influencia del solenoide, o cadena de Dirac, enviamos esta fase a $\theta~=~-2\pi N$de modo que $$eg~=~2\pi N\hbar.$$ Esta es una condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld sobre la carga eléctrica y magnética.

Esta es la única cuantificación de carga predicha, lo que sugiere que debería haber una carga magnética. Hay algunas teorías de campo con esta carga magnética, lo que induce una topología en la teoría. La cosmología inflacionaria amortigua la aparición de cargas de monopolo magnético, por lo que, si bien es posible que aún existan, son extremadamente escasas.

Para cualquier grupo de mentira$G$, las representaciones unitarias proyectivas de$G$corresponden a representaciones unitarias de su cobertura universal$\widetilde{G}$. La cubierta universal de$\mathrm{U}(1)$es la línea real$\mathbb{R}$. Las representaciones unitarias de$\mathbb{R}$son todas sumas directas de representaciones irreducibles de esta forma:

$$\rho(x) = \exp(iqx) \qquad x \in \mathbb{R}$$

donde el cargo$q$es un número real arbitrario.

Entonces sí : si permitimos representaciones unitarias proyectivas de$\mathrm{U}(1)$entonces no es necesario cuantificar la carga.

¡Buena pregunta, AccidentalFourierTransform!