¿Son posibles las representaciones grupales cuando el espacio de solución no es un espacio vectorial?

Según tengo entendido, la motivación para usar la teoría de la representación en la física de alta energía es la siguiente. Suponga que una teoría tiene algún grupo de simetría (interno o externo) que actúa sobre un espacio vectorial. Entonces los campos que satisfagan la teoría tendrán que transformarse bajo alguna representación de ese grupo de simetría, por construcción.

¿Qué sucede si tenemos alguna estructura de simetría interna o externa que ya no actúa sobre un espacio vectorial? Me vienen a la mente los difeomorfismos de los grupos gauge de la relatividad general. ¿Hay alguna teoría del tipo de 'representación' más general que venga en nuestra ayuda? ¿Y hay ejemplos de simetrías internas donde se necesita este punto de vista?

Disculpas si esta pregunta es imprecisa o defectuosa. ¡Estoy empezando a entender los fundamentos del tema! ¡Muchas gracias de antemano!

¿No actúan también los GR diffeos? ∂ X ¯ m ∂ X v V v ( X ) en un espacio vectorial, es decir, el espacio de secciones del fibrado tangente?
asumiendo que su grupo es un grupo de Lie, siempre existe la representación adjunta en el álgebra de Lie correspondiente, que es un espacio vectorial

Respuestas (1)

Dejar GRAMO ser un grupo, por ejemplo, un grupo finito o un grupo de Lie.

Entonces existe la noción de una acción de grupo. GRAMO × X → X , dónde X es un conjunto. El conjunto X no necesariamente tiene que ser un espacio vectorial. Podría ser, por ejemplo, una variedad. e incluso si X tiene estructura de espacio vectorial, la acción de grupo podría realizarse de forma no lineal , es decir, un elemento de grupo gramo ∈ GRAMO está representado por un operador no lineal T gramo : X → X .

Las realizaciones no lineales aparecen por todas partes en la física moderna. Por ejemplo, en la realización no lineal de la supersimetría , o en la realización no lineal del grupo conforme .

Ejemplo: Let the Lie group GRAMO = GRAMO L ( 2 , C ) de invertible 2 × 2 matrices

(1) A   =   ( a b C d ) , det ( A ) ≠ 0 ,

actuar en el plano complejo C (que, por cierto, es un espacio vectorial) como

(2) A . z   :=   a z + b C z + d , ( A B ) . z   =   A . ( B . z )   .

De esta forma, las matrices se representan de forma no lineal como funciones meromórficas. el subgrupo S L ( 2 , C ) es el grupo conforme global en dos dimensiones de espacio-tiempo, que, por ejemplo, juega un papel fundamental en la descripción de la hoja de mundo de la teoría de cuerdas.

Finalmente, mencionemos que en matemáticas existe una generalización de la noción de F -espacio vectorial, donde el campo F es reemplazado por un anillo R . es conocido como un R - módulo .

Me gustaría mencionar como ejemplo, que para las ecuaciones diferenciales no lineales, donde la solución puede no abarcar espacios vectoriales lineales, todavía podemos usar grupos de simetría para resolverlos, como una razón de lo que mencionaste anteriormente.
@Qmechanic - gracias por tu respuesta. Ya sé acerca de las acciones grupales generales, realmente solo me preguntaba si había ejemplos concretos de simetría en la física donde se usaron. ¿Podría agregar algo más a su respuesta, si hay alguna? ¡Entonces sin duda aceptaré! ¡Muchas gracias!
Actualicé la respuesta.
@Edward Hughes: aquí hay un ejemplo de una realización no lineal del grupo simpléctico en la óptica de haces gaussianos.
@Qmechanic ¿Por qué las Ecs. (2) definir una representación no lineal? Si no me estoy perdiendo algo, la primera ecuación es otro vector de C y la segunda ecuación puede verse como un homomorfismo de grupo: R ( A B ) = R ( A ) R ( B ) . Parece una representación lineal.
ecuación (2) es no lineal en z .
¿Son posibles las representaciones grupales cuando el espacio de solución no es un espacio vectorial?
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