Representaciones equivalentes del álgebra de Clifford

Question

Representaciones equivalentes del álgebra de Clifford

eduardo hughes

Estoy revisando las excelentes notas de clase de QFT de David Tong aquí y estoy un poco confundido por algo que escribe en la página 94.

Hemos considerado la representación quiral estándar del Álgebra de Clifford, y ahora está generalizando a una representación diferente. Él escribe que esto implicará

γ^{m} \to tu γ^{m} {tu}^{- 1} y ψ \to tu ψ

$\gamma^{\mu}\rightarrow U\gamma^{\mu}U^{-1} \ \textrm{and} \ \psi \rightarrow U\psi$

¿Qué significa la segunda transformación? No veo cómo tiene algo que ver con una representación del álgebra de Clifford (que es una asignación de una matriz a cada elemento del álgebra, hasta donde yo sé). ¿Quiere decir que en la representación proyectiva resultante del grupo de Lorentz deberíamos transformar

ψ \to S [Λ] tu ψ

$\psi\rightarrow S[\Lambda]U\psi$

¿O estoy ladrando al árbol equivocado?

Todo esto recuerda mucho a cambiar imágenes en QM, ¡pero nunca he hablado sobre la teoría de la representación en ese contexto! ¿Hay un vínculo riguroso?

¡Muchas gracias!

Motl de Luboš

Estimado Edward, es extremadamente difícil ver algo de carne en tu pregunta. Corríjame si me equivoco, pero lo que parece desconcertado es el álgebra lineal del primer semestre de los estudiantes de primer año.

ψ \to U ψ

$\psi\to U\psi$ es solo un cambio de base en el espacio de vectores

ψ

$\psi$ . Después de todo, la regla de transformación para los operadores en el mismo espacio

γ^{μ} \to U γ^{μ} U^{- 1}

$\gamma^\mu\to U\gamma^\mu U^{-1}$ se deriva de

ψ \to U ψ

$\psi\to U\psi$ , por lo que es muy difícil entender la regla de los gammas pero no la de los psis. ¿Y por qué hablas de repeticiones proyectivas, conceptos mucho más complicados que el simple cambio de base?

Motl de Luboš

Quizás el problema es que estás confundiendo la matriz.

U

$U$ en tus fórmulas de transformación con la acción de un Lorentz u otro elemento

Λ

$\Lambda$ . Son transformaciones completamente diferentes. El

U

$U$ en las leyes de transformación que indicaste es solo un cambio de base, un cambio de representación, y esto

U

$U$ no depende de ninguno

Λ

$\Lambda$ en el grupo de Lorentz o algo así. Por el contrario, es una matriz fija, como una matriz de permutación con

\pm 1

$\pm 1$ o

\pm i

$\pm i$ entradas, o transformada discreta de Fourier, etc., y se usa para cambiar la base/representante para todos

Λ

$\Lambda$ .

eduardo hughes

Ah está bien, veo mi problema. Naturalmente, pienso en una representación como una acción lineal de un grupo en un espacio vectorial, que identifica automáticamente todas las representaciones equivalentes. Cambiar entre representaciones equivalentes es simplemente efectuar un cambio de base en el espacio vectorial. En la nueva base, por supuesto,

ψ

$\psi$ se convierte

U ψ

$U\psi$ y

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ está escrito

U γ^{μ} U^{- 1}

$U\gamma^{\mu}U^{-1}$ , por álgebra lineal estándar. Tropecé porque estaba tratando de pensar en representaciones genuinamente diferentes en el mismo espacio, lo que no se reduciría a un cambio de base en general.

eduardo hughes

Y muchas gracias por su ayuda. ¡A veces pienso demasiado en algo simple y necesito que me señalen el argumento fácil!

Motl de Luboš

Bien, bien por ti, Edward, y Feliz Navidad. Por cierto, cambiar la representación de impulso/posición en QM también es un ejemplo de un cambio de base, y estas repeticiones equivalentes también pueden considerarse como "lo mismo" siguiendo su perspectiva abstracta e independiente de la base.

eduardo hughes

Ajá, sí, por supuesto, ahora veo el enlace con QM. ¡Feliz Navidad a ti también!

Respuestas (1)

Representaciones equivalentes del álgebra de Clifford

Estimado Edward, es extremadamente difícil ver algo de carne en tu pregunta. Corríjame si me equivoco, pero lo que parece desconcertado es el álgebra lineal del primer semestre de los estudiantes de primer año. $\psi\to U\psi$ es solo un cambio de base en el espacio de vectores $\psi$ . Después de todo, la regla de transformación para los operadores en el mismo espacio $\gamma^\mu\to U\gamma^\mu U^{-1}$ se deriva de $\psi\to U\psi$ , por lo que es muy difícil entender la regla de los gammas pero no la de los psis. ¿Y por qué hablas de repeticiones proyectivas, conceptos mucho más complicados que el simple cambio de base?
Quizás el problema es que estás confundiendo la matriz. $U$ en tus fórmulas de transformación con la acción de un Lorentz u otro elemento $\Lambda$ . Son transformaciones completamente diferentes. El $U$ en las leyes de transformación que indicaste es solo un cambio de base, un cambio de representación, y esto $U$ no depende de ninguno $\Lambda$ en el grupo de Lorentz o algo así. Por el contrario, es una matriz fija, como una matriz de permutación con $\pm 1$ o $\pm i$ entradas, o transformada discreta de Fourier, etc., y se usa para cambiar la base/representante para todos $\Lambda$ .
Ah está bien, veo mi problema. Naturalmente, pienso en una representación como una acción lineal de un grupo en un espacio vectorial, que identifica automáticamente todas las representaciones equivalentes. Cambiar entre representaciones equivalentes es simplemente efectuar un cambio de base en el espacio vectorial. En la nueva base, por supuesto, $\psi$ se convierte $U\psi$ y $\gamma^{\mu}$ está escrito $U\gamma^{\mu}U^{-1}$ , por álgebra lineal estándar. Tropecé porque estaba tratando de pensar en representaciones genuinamente diferentes en el mismo espacio, lo que no se reduciría a un cambio de base en general.
Y muchas gracias por su ayuda. ¡A veces pienso demasiado en algo simple y necesito que me señalen el argumento fácil!
Bien, bien por ti, Edward, y Feliz Navidad. Por cierto, cambiar la representación de impulso/posición en QM también es un ejemplo de un cambio de base, y estas repeticiones equivalentes también pueden considerarse como "lo mismo" siguiendo su perspectiva abstracta e independiente de la base.
Ajá, sí, por supuesto, ahora veo el enlace con QM. ¡Feliz Navidad a ti también!

Kostya · Answer 1

Estaba realmente confundido por algo como esto también (era una declaración de que $Y_{lm}$ era 'una representación' de un grupo de rotaciones). El problema es que en los libros de texto de física la distinción entre un grupo y una acción de este grupo no suele enfatizarse lo suficiente.

En su caso, estamos considerando dos representaciones (llamémoslas $A$ y $B$ ). para un elemento $g_\Lambda$ del grupo de Lorentz los operadores lineales correspondientes actuarían sobre un espacio vectorial de espinores de Dirac:

A ({gramo}_{Λ}) \cdot ψ = S [Λ]_{β}^{α} ψ^{β}, B ({gramo}_{Λ}) \cdot ψ = S^{'} [Λ]_{β}^{α} ψ^{β}

$A(g_\Lambda)\cdot\psi = S[\Lambda]^\alpha_\beta \psi^\beta,\quad B(g_\Lambda)\cdot\psi = S'[\Lambda]^\alpha_\beta \psi^\beta$ (Estoy eliminando la dependencia de coordenadas y ya no escribiré índices).

Ahora estamos diciendo que las dos representaciones $A$ y $B$ son (unitarios) equivalentes si hay una transformación unitaria $U$ lo que le permite 'compensar' el cambio de esas representaciones. Así que tomemos dos espinores $\psi$ y $S[\Lambda]\psi$ y transformarlos como:

ψ \to tu ψ, S [Λ] ψ \to tu S [Λ] ψ

$\psi\to U\psi,\quad S[\Lambda]\psi\to US[\Lambda]\psi$ Pero también tenemos:

A \to B \Rightarrow S [Λ] \to S^{'} [Λ]

$A\to B \quad\Rightarrow\quad S[\Lambda]\to S'[\Lambda]$ Entonces, para mantener la coherencia, debemos tener:

tu S [Λ] ψ = S^{'} [Λ] tu ψ \Rightarrow S^{'} [Λ] = tu S [Λ] {tu}^{- 1}

$US[\Lambda]\psi = S'[\Lambda]U\psi \quad\Rightarrow\quad S'[\Lambda] = US[\Lambda]U^{-1}$ Finalmente, reuniendo cosas:

ψ \to tu ψ

$\psi\to U\psi$

S [Λ] \to tu S [Λ] {tu}^{- 1}

$S[\Lambda]\to US[\Lambda]U^{-1}$

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