Reducibilidad de productos tensoriales de representaciones de grupos de Lorentz

Representaciones SU(2)

Para representaciones de$SU(2)$, sabemos:

$$(2m+1) \otimes(2n+1) = (2(m+n)+1)\oplus (2(m+n-1)+1)\oplus...\oplus(2(m-n)+1)$$ Obtenemos esto simplemente de la suma de momentos angulares. Por ejemplo: $$2\otimes2 = 1 \oplus 3$$ Donde los números etiquetan la dimensión de (espacio objetivo de) la representación (o los componentes de la representación).

Esto dice que el espacio que es invariante bajo el$2 \otimes 2$representación, llamemos es$S_2$(el espacio objetivo de esa representación), es isomorfo a la suma directa de otros 2 espacios$S_1 \oplus S_3$, tal que$S_1$es invariante bajo el$1$representación, y$S_3$es invariante bajo$3$. En una derivación explícita para la suma de momentos angulares en el espacio de Hilbert,$1$correspondería al subespacio unidimensional de estados de espín-0,$3$corresponde al subespacio tridimensional de los estados de espín-1. Los autoestados de 1 espín-0 y 3 espín-1 espín abarcan el espacio, por lo tanto, de hecho, se cumple la descomposición de suma directa anterior.

Representaciones del grupo de Lorentz

El álgebra de mentira del grupo de lorentz es generada por algunos operadores$L_i$, una descomposición útil es$L_i= N_i + N_i^{\dagger}$, dónde$N_i$,$N_i^{\dagger}$son elementos en un$SU(2)$representación. Desde$N_i$y$N_i^{\dagger}$conmutar, podemos obtener el espacio propio de$L_i$mediante la suma de momentos angulares. Por lo tanto, podemos ver los espacios generados por los valores propios de cada uno de los$N_k$y$N_k^{\dagger}$(para una elección arbitraria de k) como un espacio de Hilbert, entonces$L_i$es un operador en el producto tensorial de estos espacios de Hilbert. A saber,$L_i$actuar las combinaciones lineales de los estados del producto tensorial$|... \rangle | ...\rangle$. Esto significa que podemos ver la representación$L_i$como un producto tensorial de los 2$SU(2)$representaciones$N_i$y$N_i^{\dagger}$. De ahí el significado preciso de la notación$(1,2)$es:

$$(a,b) \equiv a \otimes b$$

A partir de aquí podemos usar el resultado anterior para productos tensoriales de$SU(2)$representaciones. Por ejemplo:

$$(2,1)\otimes(2,1) = (2 \otimes 1)\otimes (2 \otimes 1) = (2 \otimes (1\otimes 2) \otimes 1) = (2 \otimes 2 \otimes 1) \\=((1 \oplus 3)\otimes 1)= (1 \otimes 1) \oplus (3 \otimes 1) = (1,1) \oplus (3,1)$$

Donde hemos utilizado las diversas propiedades del tensor y los productos directos (asociatividad, distributividad). En la tercera igualdad, reducimos el producto tensorial usando la fórmula en la parte superior. Repitiendo el procedimiento para:

$$(2,1)\otimes(1,2)\otimes(2,2)$$

claramente vemos$(1,1)$es uno de los términos en la descomposición de suma directa.