¿Por qué el grupo Lorentz tiene generadores complejos en tratamientos QFT? [duplicar]

En los libros QFT de Schwartz y Peskin, al tratar de tratar representaciones del grupo de Lorentz los autores estudian las representaciones del álgebra de Lie de dicho grupo.

Por definición, si$SO(1,3)$es el grupo de Lorentz, el álgebra de Lie es$\mathfrak{so}(1,3)$definido como el conjunto de todos los campos vectoriales invariantes a la izquierda en$SO(1,3)$que a su vez es equivalente al espacio tangente en la identidad de$SO(1,3)$.

Ahora,$SO(1,3)$es una multiplicidad real. Por tanto, su espacio tangente en el origen es un espacio vectorial real.

De todos modos, los libros dicen que hay elementos en este álgebra de Lie llamados generadores definidos por algunas matrices complejas$J_i$y$K_i$tal que cualquier elemento del grupo es

y tal que

Ahora hay algo bastante mal aquí. Hay dos puntos principales que he notado:

1. ¿Cómo pueden los elementos de$\mathfrak{so}(1,3)$ser matrices complejas si este es un espacio vectorial real? Las matrices ciertamente necesitan ser reales. A menos que uno esté escondido en algún lugar complejo, pero esto no está claro en los libros. Si ese es el caso, ¿dónde y por qué se usa una complejización?

2. No es cierto que todos los elementos del grupo se puedan recuperar por exponenciación, si no me equivoco. Realmente no recuerdo esto muy bien, pero afirmar que todos los elementos tienen esa forma parece incorrecto. Además, la exponenciación que conozco es el mapa$\exp : \mathfrak{so}(1,3)\to SO(1,3)$definido por

   $$\exp(A)=\phi^{X^A}_1(e),$$

   dónde$X^A$es el campo vectorial invariante a la izquierda asociado,$\phi^{X^A}_t$es su flujo y$e\in SO(1,3)$es la identidad. Si no me equivoco, este mapa exponencial no es sobreyectivo. ¿Cómo se justifica el autor para decir que cualquier elemento del grupo es de esta forma?

En resumen, ¿cómo conectar el enfoque del físico que presenta el autor con la teoría habitual del grupo de Lie / álgebra de Lie?