¿Se puede llamar a cualquier simplectomorfismo una transformación canónica?

Solo quiero asegurarme de que estoy pensando claramente en las coordenadas canónicas y las transformaciones en la mecánica hamiltoniana.

Supongamos que tenemos un sistema hamiltoniano$(M, \omega, H)$- dónde$M$es el espacio de fases ($\dim(M)=2n$, a pesar de$M$no es necesariamente un paquete cotangente globalmente),$\omega$es la estructura simpléctica (no degenerada, cerrada en 2 formas), y$H$es una función en$M$sirviendo como el hamiltoniano. Ahora supongamos que tenemos dos gráficos de coordenadas superpuestos$\phi\colon U \rightarrow V \subset \mathbb{R}^{2n}$y$\psi: U \rightarrow W \subset \mathbb{R}^{2n}$, para algunos abiertos$U \subset M$. La transformación de coordenadas$\psi\circ\phi^{-1}\colon V \rightarrow W$es un simplectomorfismo, ya que es solo el mapa de identidad expresado en diferentes coordenadas: más precisamente,$\psi\circ\phi^{-1}\colon (V, \phi_{*}\omega) \rightarrow (W, \psi_{*}\omega)$satisface trivialmente$\phi_{*}\omega = (\psi\circ\phi^{-1})^{*}\psi_{*}\omega$. Pero no llamaríamos canónica a tal transformación de coordenadas a menos que$\phi$y$\psi$Ambas eran coordenadas canónicas (o cartas de Darboux) para empezar, ¿verdad? Por ejemplo, un criterio definitorio para las transformaciones canónicas que a menudo se da en los textos de física es que la matriz jacobiana de la transformación sea una matriz simpléctica... la llamada condición simpléctica. Aquí,$(\psi\circ\phi^{-1})_{*}$es una matriz simpléctica sólo si ambos$\phi$y$\psi$son coordenadas canónicas. Entonces, ¿podemos concluir que no todos los simplectomorfismos son transformaciones canónicas?