¿Cómo se transforma el corchete de Poisson cuando cambiamos de coordenadas?

Estoy estudiando el libro Mecánica geométrica de Darryl D. Holm y hay un ejercicio en el libro que no entiendo muy bien lo que se debe hacer. La misma discusión que hace el autor en el libro se hace en la página 7 de estas soluciones a unos ejercicios proporcionados por él mismo. Este ejercicio, sin embargo, no se trata allí.

El punto es que él define un tipo de soporte Possion de la siguiente manera:

Para cualquier función suave$F,H\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$de coordenadas$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^3$con elemento de volumen$d^3X$, el soporte de Nambu $\{F,H\}$definido por

$$-dC\wedge dF\wedge dH = \{F,H\}d^3X$$

es un soporte de Poisson para cualquier elección de función suave distinguida$C: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$.

Entonces, si entendí la definición, elegimos una función$C$ser una función distinguida, es decir,$C$computará con cualquier otra función y luego, el paréntesis$\{F,H\}$en el sistema de coordenadas$(X_1,X_2,X_3)$se obtiene expresando$-dC\wedge dF\wedge dH$en términos de$d^3X$. Desde$-dC\wedge dF\wedge dH$es múltiplo de$d^3X$establecimos$\{F,H\}$ser ese escalar.

Después de eso, aplica esto a la óptica geométrica. Considerando coordenadas cartesianas$(Y_1,Y_2,Y_3)$el autor hace lo siguiente: considera la función distinguida$S^2 = Y_1^2-Y_2^2-Y_3^2$(que aquí se conoce como la asimetría) e introduce el sistema de coordenadas

$$Y_1^2 = S\cosh u, \quad Y_2= S\sinh u \cosh \psi, \quad Y_3 = S\sinh u \sinh \psi.$$

Con esto presenta la igualdad

$$\{F,H\}dY_1 \wedge dY_2\wedge dY_3 = -\{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}S^2 dS\wedge d\psi \wedge d \cosh u$$

y me pregunta lo siguiente

Verifique que la ecuación anterior transforma la$\mathbb{R}^3$paréntesis de coordenadas cartesianas a hiperboloidales, usando las definiciones de$Y_1,Y_2,Y_3$en términos de$S,\psi,u$.

Creo que no entendí lo que hay que hacer. De hecho, transformé el elemento de volumen.$dY_1\wedge dY_2\wedge dY_3$para que tengamos

$$dY_1\wedge dY_2\wedge dY_3 = -S^2\sinh u dS\wedge d\psi \wedge du,$$

así tenemos

$$\{F,H\} dY_1\wedge dY_2\wedge dY_3 =-\{F,H\} S^2 dS\wedge d\psi \wedge d\cosh u,$$

nótese, sin embargo, que por definición del paréntesis, el$\{F,H\}$término es solo el paréntesis en coordenadas cartesianas. En el lado derecho entonces no aparece ninguna$\{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}$sino mas bien lo mismo$\{F,H\}$que estaba al otro lado.

Por otro lado, si simplemente aplicamos la definición usando coordenadas hiperboloidales obtenemos

$$-dS^2\wedge dF\wedge dH = \left(-2S\dfrac{\partial F}{\partial \psi}\dfrac{\partial H}{\partial u}+2S\dfrac{\partial F}{\partial u}\dfrac{\partial H}{\partial \psi}\right)dS\wedge d\psi\wedge du,$$

por lo que al final el paréntesis en estas coordenadas sería

$$\{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}=\left(-2S\dfrac{\partial F}{\partial \psi}\dfrac{\partial H}{\partial u}+2S\dfrac{\partial F}{\partial u}\dfrac{\partial H}{\partial \psi}\right).$$

En ese caso, ¿qué está pasando aquí? Creo que no entendí lo que el autor quiere. ¿Qué hay que hacer realmente aquí?

Mi punto aquí es que simplemente transformando los diferenciales y comparándolos con la expresión que se encuentra en el libro termino obteniendo$\{F,H\} = \{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}$que en mi opinión no es correcto. Entonces, ¿qué hay que hacer más aquí?

¿Cómo simplemente transformando los diferenciales y usando la definición de coordenadas hiperboloidales en coordenadas cartesianas se muestra la transformación entre paréntesis?