Resolviendo Hamilton-Jacobi mediante transformaciones canónicas

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Resolviendo Hamilton-Jacobi mediante transformaciones canónicas

Física
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Dada una solución a una ecuación de Hamilton-Jacobi en $(X, P)$ variables y una transformación canónica de $(x, p)$ a $(X, P)$ , ¿cómo se escribe la solución de Hamilton-Jacobi en términos de las variables $(x,p)$ ?

Sé que esta es una pregunta clásica con una respuesta conocida. A pesar de varios intentos, no he podido completar el cálculo. Espero que un experto pueda encontrar una forma computacionalmente manejable de escribir una solución.

Dado el hamiltoniano $H : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,

H (X, pag) = X ({mi}^{- pag} - 1) + {mi}^{pag} - 1,

$H(x,p) = x(e^{-p} - 1) + e^p - 1,$ y la función generadora de tipo 2

F_{2} (X, PAG) = X registro (PAG + 1) - PAG,

$F_2(x, P) = x \log(P+1) - P,$ encontramos que la siguiente transformación es canónica:

\begin{aligned} X (X, PAG) & = (X + 1) (PAG + 1) \\ pag (X, PAG) & = registro (PAG + 1) . \end{aligned}

$\begin{align*} x(X, P) &= (X+1)(P+1) \\ p(X, P) &= \log(P+1). \end{align*}$ Sustituyendo en

H

$H$ , obtenemos el "kamiltoniano"

K (X, P) = - X P

$K(X, P) = - XP$ . Una solución

V (t, X)

$V(t, X)$ a la ecuación de Hamilton-Jacobi

\frac{\partial V}{\partial t} + k (X, \frac{\partial V}{\partial X}) = 0

$\frac{\partial V}{\partial t} + K\left(X, \frac{\partial V}{\partial X}\right) = 0$ es dado por

V (t, X) = X^{2} {mi}^{2 t} .

$V(t, X) = X^2 e^{2t}.$ ¿Cómo podemos usar esto para escribir una solución?

S (t, x)

$S(t, x)$ a la ecuación original de Hamilton-Jacobi,

\frac{\partial S}{\partial t} + H (X, \frac{\partial S}{\partial X}) = 0 ?

$\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(x, \frac{\partial S}{\partial x}\right) = 0?$ Si hay algunas expresiones que son difíciles de invertir, ¿cuál es una relación explícita entre

S

$S$ y

V

$V$ ?

Editar, siguiendo las sugerencias de secavara.

Con $V(t, X) = \alpha X e^t$ , primero reescribimos $(x, p)$ en $x(\beta, \alpha, t)$ y $p(\beta, \alpha, t)$ . Encontramos

\begin{aligned} X & = (β {mi}^{- t} + 1) (α {mi}^{t} + 1) \\ pag & = registro (α {mi}^{t} + 1) . \end{aligned}

$\begin{align*} x &= (\beta e^{-t} + 1)(\alpha e^t + 1) \\ p &= \log(\alpha e^t + 1). \end{align*}$ cumplir

\partial_{x} S = p

$\partial_x S = p$ , podríamos intentar

S (X, α, t) = X registro (α {mi}^{t} + 1) + gramo (α, t) .

$S(x, \alpha, t) = x \log(\alpha e^t + 1) + g(\alpha, t).$ para alguna función arbitraria

g (α, t)

$g(\alpha, t)$ . Podemos comprobar que con

g (α, t) = - α

$g(\alpha, t) = -\alpha$ , satisfacemos

\partial_{α} S = β = X e^{t}

$\partial_\alpha S = \beta = X e^t$ .

En este punto traté de que la última relación funcionara, $\partial_t S = -H$ , pero no lo logré (aunque, por supuesto, no me esforcé mucho). En cambio, respondí la siguiente solución:

S (t, X) = X registro X - X + a (t) X + b (t) .

$S(t, x) = x \log x - x + a(t) x + b(t).$ Conectándonos al HJE, encontramos las siguientes relaciones:

\begin{aligned} \dot{a} (t) & = - ({mi}^{a (t)} - 1) \\ \dot{b} (t) & = - ({mi}^{- a (t)} - 1) . \end{aligned}

$\begin{align*} \dot{a}(t) &= -(e^{a(t)} - 1) \\ \dot{b}(t) &= -(e^{-a(t)} - 1). \end{align*}$ Por lo tanto, una solución para el HJE es

S (t, X) = X registro X - X - X registro ({mi}^{- t + C_{1}} + 1) + {mi}^{- t + C_{1}} + C_{2}

$S(t, x) = x\log x - x - x\log(e^{-t+c_1} + 1) + e^{-t+c_1} + c_2$ para constantes

c_{1}, c_{2}

$c_1, c_2$ . El constante

c_{1}

$c_1$ juega el papel de

α

$\alpha$ . Hace

c_{2}

$c_2$ hacer el papel de

β

$\beta$ ?

Mi problema con esta solución es que parezco incapaz de satisfacer una condición límite como $S(0, x) = 0$ si $x = y$ y $S(0, x) = +\infty$ si $x \neq y$ para algunos fijos $y \in \mathbb{R}_+$ . Esto podría ser posible si tuviéramos un término como $-(x-y)\log(1-e^{-t}).$ Uno puede satisfacer tal condición de contorno en el caso simple de una partícula libre, digamos $H'(p) = p^2/2$ . Entonces $S(t, x) = (x-y)^2/2t$ satisface el mismo HJE (con hamiltoniano $H'$ ) y $S(0, x) = \infty\cdot 1\{x \neq y\}$ . ¿Ves alguna forma de conseguir esto para nuestro $H$ ?

Finalmente, me parece que el $\alpha, \beta$ constantes están relacionadas con la siguiente transformación canónica de $(X, P)$ a $(E, Q)$ variables:

\begin{aligned} X = \sqrt{mi} {mi}^{- q} \\ PAG = \sqrt{mi} {mi}^{q} . \end{aligned}

$\begin{align*} X = \sqrt{E} e^{-Q} \\ P = \sqrt{E} e^{Q}. \end{align*}$ Entonces

K (X (E, Q), P (E, Q)) = - E

$K(X(E, Q), P(E, Q)) = -E$ , y tenemos coordenadas de "ángulo de acción". Dudo en llamarlos ángulo de acción porque el espacio de fase no es compacto, por lo que no hay una variable cíclica. Este sistema puede verse como un oscilador armónico girado por

p \to i p

$p \rightarrow i p$ , es decir,

H^{″} (x, p) = x^{2} - p^{2}

$H''(x, p) = x^2 - p^2$ . No estoy seguro de cómo interpretarlo.

Respuestas (1)

Resolviendo Hamilton-Jacobi mediante transformaciones canónicas

secavara · Answer 1

La forma en que racionalizo el proceso de Hamilton-Jacobi es pensando en la solución de la ecuación HJ como un $F_2$ función generadora que lleva a un Kamiltoniano trivial (aunque creo que en algunas referencias toman otros tipos de funciones generadoras). Entonces, en resumen, el proceso HJ es una transformación canónica muy conveniente.

En su caso, parece realizar primero una transformación canónica y luego resolver la ecuación HJ para el hamiltoniano transformado, las coordenadas y los momentos. Entonces, verás, en mi mente, mientras lograste resolver el problema, lo hiciste haciendo efectivamente 2 transformaciones canónicas: una intermedia y otra relacionada con la solución de la ecuación HJ. De alguna manera, su $S$ es la función generadora de tipo 2 que da cuenta de la composición de estas 2 transformaciones.

Una cosa que puedes intentar hacer es invertir estas 2 transformaciones canónicas. Intenta usar las relaciones entre derivadas de $V$ y el $X$ y $P$ coordenadas para deducir la transformación canónica correspondiente: por lo general, esto le permitirá escribir $X$ y $P$ en términos de 2 constantes y posiblemente tiempo. Una vez hecho esto, es posible que pueda invertir todo el camino a $p$ y $x$ , para que literalmente resuelva el problema dinámico ya que termina con $x$ y $p$ escrito en términos de estas 2 constantes y el tiempo. Entonces si realmente necesitas $S$ , entonces $S$ corresponde a la función generadora de tipo 2 asociada a la transformación canónica que te lleva de $(x,p)$ a las 2 constantes que escogiste . Dependiendo de cuán feos hayan sido los resultados hasta ahora, esto podría ser difícil o no, pero creo que cuando se enmarca así, el problema suena más estándar de libro de texto, ya que muchos ejercicios le piden que encuentre un $F_2$ dada una transformación canónica específica.

EDITAR:

Después de algunas comprobaciones, puedo darte algunos consejos sobre cómo proceder. Lo primero que hay que tener en cuenta es que se pueden encontrar soluciones mucho más generales $V$ para su HJE. Por ejemplo, puede tomar

V_{r} = α_{r} X^{r} {mi}^{r t},

$\begin{equation} V_r = \alpha_r \, X^r \, \mathrm{e}^{r t} \, , \end{equation}$ con

r

$r$ y

α_{r}

$\alpha_r$ constantes o puedes tomar

V_{γ} = γ (registro X + t),

$\begin{equation} V_\gamma = \gamma \, \left( \log X + t \right) \, , \end{equation}$ con

γ

$\gamma$ una constante. O incluso puedes tomar una superposición de la forma

V = V_{γ} + \sum_{r} V_{r} .

$\begin{equation} V = V_\gamma + \sum_r V_r \, . \end{equation}$ Es un espacio muy rico de soluciones, que en otros contextos estaría constreñido por condiciones de contorno o iniciales. Pero aquí nos ofrece la posibilidad de escoger la solución que simplifica nuestros cálculos. Después de algunos experimentos, resulta que

V = V_{r = 1} = α X {mi}^{t},

$\begin{equation} V = V_{r=1} = \alpha \, \, X \, \mathrm{e}^{t} \, , \end{equation}$ simplifica mucho nuestras vidas (aquí simplemente elegí

α_{1} = α

$\alpha_1 = \alpha$ ). El resto del problema se vuelve mucho más manejable que cuando usa su elección original para

V

$V$ .

Ahora puedes usar las relaciones de tipo 2

PAG = \frac{\partial V}{\partial X} a norte d β = \frac{\partial V}{\partial α} .

$\begin{equation} P = \frac{\partial V}{\partial X} \, \, \mathrm{and} \, \, \beta = \frac{\partial V}{\partial \alpha} \, . \end{equation}$ Esto le permite escribir

X

$X$ y

P

$P$ como una función de

t

$t$ y las constantes

β

$\beta$ y

α

$\alpha$ . Con esto, podrás escribir

x

$x$ y

p

$p$ en términos de las mismas variables, utilizando la transformación canónica. Ahora bien, para encontrar

S

$S$ , quieres centrarte en la transformación canónica que va de

(x, p)

$(x,p)$ a

(β, α)

$(\beta,\alpha)$ . Desde

S

$S$ es de tipo 2, desea encontrar un

S (x, α, t)

$S(x,\alpha,t)$ tal que:

\begin{array}{rcl} pag & = & \frac{\partial S}{\partial X}, \\ β & = & \frac{\partial S}{\partial α}, \\ - H & = & \frac{\partial S}{\partial t} . \end{array}

$\begin{eqnarray} p &=& \frac{\partial S}{\partial x} \, , \\ \beta &=& \frac{\partial S}{\partial \alpha} \, , \\ - H &=& \frac{\partial S}{\partial t} \, . \end{eqnarray}$ Afortunadamente, con nuestra elección de solución HJE, este es ahora un problema mucho más simple.

Muchas gracias por todo su trabajo, es muy apreciado. Algunas preguntas más: es cierto que hay muchas más soluciones para el HJE original; ¿quizás vea una forma de escribirlas todas desde las coordenadas del "ángulo de acción" (vea mi edición)? También admito que estoy confundido acerca de cómo supiste elegir una constante ( $\alpha$ ) como una variable, se agradecería cualquier idea. Finalmente, mi última preocupación es satisfacer los datos de límites que prescribo en la edición; avíseme si encuentra una manera. Estoy feliz de aceptar su respuesta como está, le daré unos días por si acaso.
Está bien, no te preocupes. Permítanme mencionar primero un par de cosas. La razón por la que esperaba una constante en $V$ se deduce del hecho de que, dado que tiene un espacio de fase 2D, espera necesitar dos condiciones iniciales en la solución de su problema dinámico. Estos, o una función de ellos, eventualmente se manifiestan como las constantes a las que se llega a través del enfoque HJ, que también los selecciona de tal manera que son variables conjugadas. En consecuencia, uno de ellos debe aparecer como un 'momento conjugado' en la solución del HJE. En ejercicios más sencillos en los que conoces de antemano algunas constantes de movimiento
puede jugar con este concepto y manipular el HJE para encontrar soluciones que involucren precisamente las constantes de movimiento que ya conoce, como la energía o el impulso, según el sistema. O puede manipularlo de tal manera que las variables conjugadas de HJ coincidan exactamente con la posición inicial y el momento. La segunda cosa a mencionar es que tengo $g(\alpha,t) = - \alpha \,\mathrm{e}^t$ , en términos de su notación para la solución. Revisa esto y luego trataré de comentar sobre las otras cosas.

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