Encuentre la función generadora F1F1F_1 para la transformación canónica

Question

Encuentre la función generadora F1F1F_1 para la transformación canónica

Física
espacio de fase
sistemas coordinados
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

amanecer

quisiera saber los pasos a seguir para encontrar la función generadora $F_1(q,Q)$ dada una transformación canónica.

Por ejemplo, considerando la transformación

q = q^{1 / 2} {mi}^{- PAG}

$q=Q^{1/2}e^{-P}$

pag = q^{1 / 2} {mi}^{PAG}

$p=Q^{1/2}e^P$

He pensado encontrar p y P:

pag = \frac{q}{q}

$p=\frac{Q}{q}$

PAG = \frac{1}{2} en q - en q

$P=\frac{1}{2}\ln Q-\ln q$
Y así, usando la definición de la función generadora

F_{1} (q, Q)

$F_1(q,Q)$ :

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial F_{1}}{\partial q} \equiv pag = \frac{q}{q} \end{matrix}

$\tag{1}\frac{\partial F_1}{\partial q} \equiv p =\frac{Q}{q}$

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial F_{1}}{\partial q} \equiv - PAG = en q - \frac{1}{2} en q \end{matrix}

$\tag{2}\frac{\partial F_1}{\partial Q} \equiv -P = \ln q-\frac{1}{2}\ln Q$

Entonces he pensado en entero estas relaciones y he obtenido:

F_{1} = q en q + F (q)

$F_1=Q\ln q + f(Q)$

F_{1} = q en q - \frac{1}{2} (q en q - q)

$F_1=Q\ln q-\frac{1}{2}(Q\ln Q-Q)$

El resultado debe ser:

F_{1} = q en q - \frac{1}{2} (q en q - q)

$F_1=Q\ln q-\frac{1}{2}(Q\ln Q-Q)$

Ahora, estoy tratando de encontrar la regla general:

Al principio he pensado que tengo que sumar los dos $F_1$ , pero luego el resultado es incorrecto. Entonces les pregunto: ¿tengo que enterar las dos relaciones y luego tomar como $F_1$ esa relación que verifica tanto (1) como (2)?

Vladímir Kalitvianski

Solo para una comprensión general: si tiene algunas buenas ecuaciones de movimiento, entonces cualquier cambio de variable reversible es bueno, aunque no conserven una forma canónica de nuevas ecuaciones ;-)

Respuestas (3)

Encuentre la función generadora F1F1F_1 para la transformación canónica

Solo para una comprensión general: si tiene algunas buenas ecuaciones de movimiento, entonces cualquier cambio de variable reversible es bueno, aunque no conserven una forma canónica de nuevas ecuaciones ;-)

Emilio Pisanty · Answer 1

Su razonamiento no es particularmente claro (y la pregunta podría beneficiarse si desarrolla los detalles), pero parece correcto hasta la formulación de las ecuaciones diferenciales para $F_1$ :

{\begin{cases} \frac{\partial F_{1}}{\partial q} = \frac{q}{q}, \\ \frac{\partial F_{1}}{\partial q} = en q - \frac{1}{2} en q . \end{cases}

$\begin{cases}\frac{\partial F_1}{\partial q}=\frac{Q}{q},\\ \frac{\partial F_1}{\partial Q}=\ln q-\frac{1}{2}\ln Q.\end{cases}$ Simplemente ha integrado el primero sin considerar si todavía obedece al segundo, que no lo hace. Si integra el segundo directamente, obtendrá la respuesta que está buscando.

En general, esto tampoco funcionará (por ejemplo, si la primera ecuación fuera de la forma $\frac{\partial F_1}{\partial q}=\frac{Q}{q}+f(q)$ no lo haría), así que tienes que hacer tu mejor esfuerzo para encontrar la función que obedece a ambas ecuaciones. (En el caso más general, esto es, por supuesto, imposible, pero la condición de que la transformación sea canónica esencialmente dice que esto se puede hacer).

gracias por tu respuesta, pero cuales son los pasos generales a seguir para encontrar $F_1$ ? No he hecho ejercicios como este antes, así que no sé cómo puedo hacer en casos como este... Estoy tratando de encontrar los pasos que siempre puedo seguir para encontrar $F_1$ ..
Lo mismo que hiciste arriba. Encuentre las derivadas parciales de $F_1$ bien $q$ y $Q$ (en términos de $q$ y $Q$ , por supuesto!) e integrar.

Santhanu Sasikumar · Answer 2

Para la función generadora $F_1(q,Q)$ , tenemos $\mathrm{d}F_1/\mathrm{d}q = p$ y $p = Q/q$

entonces

\begin{matrix} (1) & F_{1} = q en (q) + k_{1} (q) \end{matrix}

$F_1 = Q\ln(q) + K_1(Q)\tag{1}$ y también

\begin{matrix} (2) & d F_{1} / d q = - PAG \end{matrix}

$\mathrm{d}F_1/\mathrm{d}Q =-P\tag{2}$ y

\begin{matrix} (a) & PAG = en (q / q) - (1 / 2) en (q) \end{matrix}

$P=\ln(Q/q)-(1/2)\ln(Q)\tag{a}$

ecuación de sustitución $(a)$ en $(2)$ e integrando

\begin{matrix} (3) & F_{1} = - (1 / 2) (q en (q) - q) + q en (q) + k_{2} (q) \end{matrix}

$F_1 =-(1/2)(Q\ln(Q)-Q) + Q\ln(q) + K_2(q)\tag{3}$

comparando $(1)$ y $(3)$ obtenemos

F_{1} = - (1 / 2) (q en (q) - q) + q en (q)

$F_1 = -(1/2)(Q\ln(Q)-Q) + Q\ln(q)$

con

k_{2} (q) = 0 y k_{1} (q) = - (1 / 2) (q en (q) - q)

$K_2(q)= 0 \text{ and }K_1(Q) = -(1/2)(Q\ln(Q)-Q)$

(aquí $\mathrm{d}()/\mathrm{d}q$ y $\mathrm{d}()/\mathrm{d}Q$ en realidad representan las derivadas parciales con respecto a $q$ y $Q$ )

Bienvenido al sitio! Puede usar la notación LaTeX encerrando sus matemáticas dentro $ ... $ (y $$ ... $$también) para que su publicación sea más legible.

Medusa superrápida · Answer 3

En primer lugar, elija un tipo de función generadora. Decir $F_1(q,Q)$ entonces las relaciones correspondientes son $\frac{\partial{F_1}}{\partial{q}} = p$ y $\frac{\partial{F_1}}{\partial{Q}} = -P$ El método general es escribir $p$ y $P$ en términos de las variables de su función que en este caso son $q$ y $Q$ . Luego usas las relaciones e integras para encontrar la función generadora.

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