Topología sólida y convergencia uniforme

Question

Topología sólida y convergencia uniforme

Matemáticas
análisis real
topología general

usuario709182

Dejar $X$ ser un espacio normado y $\{f_n\}\in X^{\ast}$ . Quiero probar lo siguiente: $\{f_n\}$ converge (bajo topología fuerte) en $X^{\ast}$ si y solo si $\{f_n\}$ converge uniformemente en la bola unitaria en $X.$

Mi intento: $f_n$ converge a $f$ en $X^{\ast}$ cuando

\underset{norte \to \infty}{límite} ‖ F_{norte} - F ‖ = 0.

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\| f_n-f\|=0. \end{equation*}$

f_{n}

$f_{n}$ converge uniformemente cuando para todos

ϵ > 0

$\epsilon>0$ , existe un número natural

N

$N$ tal que

n \geq N

$n\geq N$ implica

| F_{norte} (X) - F (X) | < ϵ

$\begin{equation*} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{equation*}$ Parece que la convergencia bajo una topología fuerte es más fuerte que la convergencia uniforme. ¿Alguien puede ayudarme a probar la afirmación?

Respuestas (1)

Topología sólida y convergencia uniforme

G. Chiusole · Answer 1

Dejar $B_1(0)$ denote la bola unidad en $X$ y $f_n,f,X,X^{\ast}$ como en la pregunta.

Así que lo que quieres mostrar es que $\Vert f_n - f \Vert \rightarrow 0$ si y solo si $\sup_{x \in B_1(0)} \Vert (f_n - f)(x) \Vert \rightarrow 0$ .

$\Rightarrow$ : Dejar $\Vert f_n - f \Vert \rightarrow 0$ , entonces nosotros tenemos

\underset{X \in B_{1} (0)}{sorber} ‖ (F_{norte} - F) (X) ‖ \leq \underset{X \in B_{1} (0)}{sorber} ‖ F_{norte} - F ‖ ‖ X ‖ \leq ‖ F_{norte} - F ‖ \to 0

$\sup_{x \in B_1(0)} \Vert (f_n - f)(x) \Vert \leq \sup_{x \in B_1(0)} \Vert f_n - f \Vert \Vert x \Vert \leq \Vert f_n - f \Vert \rightarrow 0$

Aquí la primera desigualdad está dada por el límite estándar y la segunda, ya que el supremo está sobre tal $x \in X$ con $\Vert x \Vert \leq 1$ .

$\Leftarrow$ : Dejar $\sup_{x \in B_1(0)} \Vert (f_n - f)(x) \Vert$ , entonces por definición de la norma del operador tenemos

‖ F_{norte} - F ‖ = \underset{X \in B_{1} (0)}{sorber} ‖ (F_{norte} - F) (X) ‖ \to 0

$\Vert f_n - f \Vert = \sup_{x \in B_1(0)} \Vert (f_n - f)(x) \Vert \rightarrow 0$

Topología sólida y convergencia uniforme

usuario709182

Respuestas (1)

G. Chiusole

¿Cómo se calcula el valor de un límite multivariable?

El cuadrado abierto (0,1)×(0,1)(0,1)×(0,1)(0,1) \times (0,1) invectivamente mapeado en el intervalo (0,1)( 0,1)(0,1)

¿Cuál es la compactación real de la línea real?

¿Esta declaración implica que el conjunto está abierto en RR\mathbb{R}?

Prueba de que la clausura de un conjunto siempre contiene su supremo y un conjunto abierto no puede contener su supremo

Demuestre que AAA es denso si y solo si cualquier conjunto abierto no vacío en XXX tiene una intersección con AAA

Problemas para entender por qué los números naturales no están abiertos

Medidas localmente finitas vs. Borel en espacios polacos σσ\sigma-compactos

Funciones continuas de NN\Bbb{N} a NN\Bbb{N} en la topología "co-pequeña"

¿Todo punto de todo conjunto abierto E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} es un punto límite de EEE? [Verificación de prueba]