¿Todo punto de todo conjunto abierto E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} es un punto límite de EEE? [Verificación de prueba]

Question

¿Todo punto de todo conjunto abierto E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} es un punto límite de EEE? [Verificación de prueba]

Matemáticas
análisis real
topología general

DC el III

Problema clásico de Baby Rudin que quiero ver si probé correctamente:

Es cada punto de cada conjunto abierto $E \subset \mathbb{R^2}$ un punto límite de $E$ ?

Solución:

Suponer $E$ está abierto y existe un punto $p \in E$ eso no es un punto límite.

Desde $p$ no es un punto límite,

$\Rightarrow$ existe nbhd $N_r(p)$ de conjunto $E$ tal que para todos $q \neq p$ , $q \notin E$

pero dado que $E$ está abierto, esto significa $p$ es un punto interior de $E$ .

$\Rightarrow$ existe un nbhds $N_\epsilon(q) \subset N_\delta(p) \subset E$ tal que $q \in E$ y $q\neq p$

si tomamos min { $r, \delta$ } tenemos una pelota alrededor $p$ dónde $N_\epsilon(q) \subset B_{min(r,\delta)}(p)$

$\Rightarrow$ existen puntos $q \in E$ , $q\neq p$ , y $q\in B_{min(r,\delta)}(p)$

Esto es una contradicción porque $p$ se supuso que era un punto límite

QED

usuario574889

Para otros espacios que no sean

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ esta propiedad no es cierta. Es por eso que necesita usar esos conjuntos abiertos de

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ son uniones de discos, y cada disco contiene muchos puntos.

zhw.

@cactus Entonces es falso para

R ?

$\mathbb R?$

lee mosher

Para algunos otros espacios que

R^{2}

$\mathbb R^2$ esta propiedad no es cierta. Pero para

R

$\mathbb R$ y más generalmente para

R^{n}

$\mathbb R^n$ , de hecho es cierto.

Respuestas (3)

¿Todo punto de todo conjunto abierto E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} es un punto límite de EEE? [Verificación de prueba]

Para otros espacios que no sean $\mathbb{R}^2$ esta propiedad no es cierta. Es por eso que necesita usar esos conjuntos abiertos de $\mathbb{R}^2$ son uniones de discos, y cada disco contiene muchos puntos.
Para algunos otros espacios que $\mathbb R^2$ esta propiedad no es cierta. Pero para $\mathbb R$ y más generalmente para $\mathbb R^n$ , de hecho es cierto.

Recogepelotas · Answer 1

Recogepelotas

No parece que hayas mostrado una contradicción. Parece que has demostrado que existe un barrio. $N_r(p)$ tal que todos los puntos en esa vecindad (que no sean $p$ sí mismo) están fuera $E$ , y existe un barrio $N_\delta(p)$ tal que algún punto de la vecindad está en $E$ . Pero los dos barrios no tienen por qué ser iguales, entonces, ¿cuál es la contradicción?

Aunque estás muy cerca.

DC el III

Edité un poco mi solución. Creo que eso lo arregla....

Recogepelotas

@dc3rd Todavía no veo cuál es la contradicción. Tal vez debería tratar de ser más explícito acerca de cuál es la contradicción.

usuario574889

@dc3rd Todavía no has usado la forma de los barrios en

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ . Si a la última implicación le sumas que

N_{δ} (p)

$N_{\delta}(p)$ contiene una pelota

{x : ‖ x - p ‖ < s_{1}}

$\{x:\ \|x-p\|<s_1\}$ , y por lo tanto, contiene muchos puntos de

E

$E$ además

p

$p$ . Entonces puedes compararlo con otra pelota.

{x : ‖ x - p ‖ < s_{2}}

$\{x:\ \|x-p\|<s_2\}$ contenida en

N_{r} (p)

$N_{r}(p)$ que solo debe contener

p

$p$ de

E

$E$ . Usando la forma particular de conjuntos abiertos de

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ es necesario, ya que en un espacio como

[0, 1] \cup {2}

$[0,1]\cup\{2\}$ , con la topología inducida de

R

$\mathbb{R}$ , el conjunto

{2}

$\{2\}$ está abierto pero su punto no es un punto límite.

DC el III

@cactus ese sería el método directo de la prueba, pero estoy tratando de hacerlo por contradicción...

usuario574889

@dc3rd No. Usando eso

p

$p$ no es límite obtienes una bola en la que el único punto de

E

$E$ es

p

$p$ . usando eso

E

$E$ está abierto obtienes una bola en la que todos sus puntos están en

E

$E$ y hay muchos puntos de además

p

$p$ . La más pequeña de las dos bolas tiene al mismo tiempo muchos puntos de

E

$E$ y solo

p

$p$ . Esa es la contradicción.

DC el III

@cactus Edité mi solución. ¿Podrías echar un vistazo y darme tu opinión? Traté de no replicar exactamente cómo lo dijiste palabra por palabra y me permití pensarlo bien.

usuario574889

@dc3rd Todavía es incómodo, porque hay pequeñas porciones que no son realmente ciertas. Por ejemplo, si

min (r, δ) = r

$\min(r,\delta)=r$ , entonces tal vez

N_{ϵ} (q)

$N_\epsilon(q)$ no está dentro

B_{min (r, δ)} (p)

$B_{\min(r,\delta)}(p)$ . Además, existe la notación

B_{s} (p)

$B_s(p)$ supuestamente significa una bola de radio

s

$s$ y centrado en

p

$p$ , pero entonces cual es el

r

$r$ en

N_{r} (p)

$N_r(p)$ ? Un vecindario que contiene una bola de radio

r

$r$ ? Si sospecha que la notación no es muy general, es más seguro definirla, solo para que quede claro. Muy probablemente, si haces un dibujo que te oriente sobre cómo componer el argumento.

Mohammad Riazi-Kermani · Answer 2

Intenta probar su afirmación por contradicción. Si bien una prueba directa en este caso es más fácil, ha progresado un poco en su prueba. Tu idea es correcta pero tienes que tener más cuidado con tus cuantificadores.

He visto algunas de las pruebas directas. Tengo curiosidad por saber por qué crees que son más fáciles. Cuando intenté crear esta prueba, los métodos directos nunca se me ocurrieron.
Tiene una hipótesis muy sólida en este caso, es decir, el conjunto es abierto y la topología es métrica. ¿Por qué no usarlo directamente para mostrar que todo punto es un punto límite?

xbh · Answer 3

Por definición, cada $x \in E$ es interior a $E$ , por lo tanto hay una pelota $B(x, r)$ con $r > 0$ contenida en $E$ . Para cada barrio de $x$ , se cruza con $B(x,r) \setminus \{r\}$ al menos en un punto, entonces $x$ debe ser un punto límite.

¿Todo punto de todo conjunto abierto E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} es un punto límite de EEE? [Verificación de prueba]

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zhw.

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Mohammad Riazi-Kermani

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xbh

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