¿Cómo se calcula el valor de un límite multivariable?

No creo que haya un enfoque particularmente genérico que siempre funcione. Hay un buen número de trucos. discutiré el$(x, y) \to (0, 0)$caso de simplicidad.

1. Arreglar$m$, sustituto$y=mx$, y deja$x \to 0$. Si el resultado depende de$m$, el límite no existe. A menudo, esta es una forma rápida y sucia de ver si un límite "obviamente" no existe, pero no puede probar que el límite existe.

   Ejemplo :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2}$no existe desde$\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{m}{1+m^2}$depende de$m$.

2. Polar: sustituto$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$y deja$r \to 0$. Si el resultado es el mismo pase lo que pase$\theta$está haciendo, el límite existe y es ese valor. De lo contrario, el límite no existe. Este enfoque a menudo dará una idea, incluso si no funciona de inmediato.

   Ejemplo :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$desde$\lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} = lim_{r \to 0} r (\cos^2\theta\sin\theta) = 0$.

3. Expansiones de serie. La regla de L'Hopital es fundamentalmente un ejemplo de esta filosofía, por lo que no escribiré un ejemplo. Si bien la regla de L'Hopital es un fenómeno de una sola variable, aún puede intentar una expansión de Taylor multivariable. Personalmente no he visto eso en la práctica.

4. Sustituciones inspiradas. Esto requiere "perspicacia", sea lo que sea que eso signifique. A menudo, la idea es algo así como, "bueno, si$x$eran realmente muy pequeños en comparación con$y$, pero no demasiado pequeño, entonces este término dominaría, y el cociente sería básicamente 1, entonces..."

   Ejemplo :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}$no existe desde cuando$y=mx^3$, tenemos$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 (mx^3)}{x^6 + (mx^3)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1+m^2}$depende de$m$.

No creo que haya una regla que se ajuste a todos los límites de múltiples variables. En general, uno busca la continuidad en el punto y luego, si falla, aplicará varias técnicas diferentes hasta que algo se mantenga (como las coordenadas polares, probar muchos caminos diferentes y luego generalizar y la serie de Taylor).

Este es un buen hilo que detalla varias formas de abordar tales problemas, ¡espero que ayude un poco!

¿Existe una lista de verificación paso a paso para verificar si existe un límite multivariable y encontrar su valor?

Si está buscando averiguar cuál es el límite para ayudar a probarlo, probaría varios caminos y si todos los caminos tienden al mismo punto, asumiría que ese es el resultado que trato de probar. ¡Las calculadoras gráficas 3D pueden ayudar con esto!