Prueba de que la clausura de un conjunto siempre contiene su supremo y un conjunto abierto no puede contener su supremo

El argumento para (a) no es del todo correcto, porque$s$no necesita ser en realidad un punto límite de$A$. Por ejemplo, deja$A=(0,1)\cup\{2\}$; entonces$s=2$, y para cualquier positivo$\epsilon\le 1$el intervalo abierto$(s-\epsilon,s)$es disjunto de$A$. Y como punto menor, no es necesario argumentar por contradicción.

Si$s\in A$, entonces ciertamente$s\in\operatorname{cl}A$, entonces supongamos que$s\notin A$. Dejar$\epsilon>0$; entonces$s-\epsilon< s$, entonces$s-\epsilon$no es un límite superior para$A$, y por lo tanto$A\cap(s-\epsilon,s]\ne\varnothing$. Además,$s\notin A$, entonces$A\cap(s-\epsilon,s)\ne\varnothing$. Así, para cada$\epsilon>0$hay un$a\in A$tal que$|a-s|<\epsilon$, entonces$s$es un punto límite de$A$, y por lo tanto$s\in\operatorname{cl}A$.

(Tenga en cuenta que si bien no hay absolutamente nada de malo en incluir detalles adicionales, y puede ser una buena idea cuando aún está aprendiendo, en realidad no es necesario decir más para justificar los diversos pasos que lo que hice anteriormente).

El argumento a favor de (b) está bien.

Dependiendo de su definición de conjuntos abiertos y cerrados en$\mathbb{R}$, y dependiendo de qué teoremas anteriores te hayan dado:

Un punto límite $x$para un conjunto no vacío$A$es un punto tal que en cualquier intervalo abierto alrededor$x$, no importa cuán pequeño sea, habrá al menos un punto en el intervalo que está en$A$y un punto en el intervalo que no está en$A$.

Dado cualquier conjunto no vacío$A$que está acotado por arriba, el supremo (es decir, el límite superior mínimo) de$A$es un punto límite de$A$.

Cualquier conjunto no vacío que contenga uno de sus puntos límite no puede ser un conjunto abierto.

Cualquier conjunto cerrado no vacío debe contener todos sus puntos límite. Esta última afirmación es consecuencia de definir un conjunto no vacío como cerrado si y sólo si su complemento es abierto.