Demuestre que AAA es denso si y solo si cualquier conjunto abierto no vacío en XXX tiene una intersección con AAA

Tenga cuidado con sus declaraciones. No tienes que probar eso

por cada conjunto abierto no vacío$O$de$X$,$\operatorname{Cl}(A)=X$si y solo si$O\cap A\ne\emptyset$

sino más bien

$\operatorname{Cl}(A)=X$si y solo si, para todo conjunto abierto no vacío$O$de$X$,$O\cap A\ne\emptyset$

que es una declaración bastante diferente.

Su parte 1 es correcta, pero está llena de partes innecesarias. Lo que tienes que probar es que, suponiendo$\operatorname{Cl}(A)=X$, que todo conjunto abierto no vacío$O$se cruza$A$. Esto se deduce del hecho de que, considerando$x\in O$,$O$es un barrio abierto de$x$; desde$x\in\operatorname{Cl}(A)$, concluimos que$O\cap A\ne\emptyset$.

La parte 2 es correcta, aunque más larga de lo necesario. Suponer$x\notin\operatorname{Cl}(A)$. Entonces, por definición de clausura, existe una vecindad abierta$O$de$x$tal que$O\cap A=\emptyset$.

Nota. No es necesaria ninguna contradicción en la parte 2, estamos probando la contrapositiva, es decir, si$\operatorname{Cl}(A)\ne X$, entonces existe un conjunto abierto no vacío$O$tal que$O\cap A=\emptyset$.

La lógica de su intento parece correcta, pero estoy seguro de que su argumento se puede acortar para que quede más claro. Por ejemplo:

Si$\mathrm{Cl}(A)=X$, entonces para cualquier abierto no vacío$U\subset X$, solo elige un$x\in U$y$U\cap A\neq\varnothing$sigue.

Por el contrario si$U\cap A\neq\varnothing$para cualquier abierto no vacío$U\subset X$, entonces cada$x\in X$se encuentra en$\mathrm{Cl}(A)$ya que cada barrio de$x$se cruza con$A$.