Problemas para entender por qué los números naturales no están abiertos

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Problemas para entender por qué los números naturales no están abiertos

Matemáticas
espacios métricos
análisis real
topología general

nipohc88

Tengo un curso de análisis real basado en los Principios del análisis real de Aliprantis y Birkenshaw. He realizado cursos de análisis anteriores y sé demostrar que el conjunto de los números naturales es un conjunto cerrado.

Definen la bola abierta de radio $r$ de la manera típica. Sin embargo, en la sección sobre espacios métricos, los autores definen un punto $x_{0}$ ser un punto interior de un subconjunto $A$ si existe una bola abierta $B(x_{0},r)$ tal que $B(x_{0},r)\subseteq A$ . Aquí radica mi falta de comprensión. Si consideramos $\mathbb{N}$ ser un espacio métrico en sí mismo, no un subconjunto de $\mathbb{R}$ , con la métrica habitual, para cualquier $r>0$ la bola abierta solo incluye el número en sí y otros números naturales. Entonces claramente, $B(r,x_{0})\subseteq \mathbb{N}$ . Por lo tanto, es un conjunto abierto.

¿Dónde estoy cometiendo una falacia?

Hagen von Eitzen

Como un espacio métrico con la métrica usual,

N

$\Bbb N$ es discreto Eso hace que cada subconjunto de

N

$\Bbb N$ (por supuesto, incluyéndose a sí mismo) está abierto (y cerrado al mismo tiempo).

Enrique

Hay una distinción entre no abierto y cerrado . con lo habitual

d (m, n) = | m - n |

$d(m,n)=|m-n|$ métrica en

N

$\mathbb N$ , cualquier conjunto es a la vez cerrado y abierto

lee mosher

Su falacia es tratar el "conjunto abierto" como una noción absoluta, independiente de cualquier espacio métrico. En cambio, "subconjunto abierto" es una noción definida en relación con un espacio métrico particular del cual el conjunto dado es un subconjunto. Entonces es posible para uno y el mismo conjunto, por ejemplo

N

$\mathbb N$ , para ser un subconjunto abierto de un espacio, por ejemplo, de

N

$\mathbb N$ mismo, y ser un subconjunto no abierto de otro espacio, por ejemplo, de

R

$\mathbb R$ .

nipohc88

@LeeMosher Por supuesto, olvidé que en la definición de bola abierta se incluye la métrica específica. Gracias, ahora lo entendí!

Enrique

Mientras tanto para cualquier conjunto

S

$S$ y cualquier métrica en

S

$S$ , ambos

S

$S$ y

\emptyset

$\emptyset$ son tanto abiertos como cerrados. por ejemplo en

R

$\mathbb R$ y la métrica habitual,

R

$\mathbb R$ y y

\emptyset

$\emptyset$ son los únicos conjuntos tanto abiertos como cerrados;

N

$\mathbb N$ y el intervalo

[0, 1]

$[0,1]$ están cerrados pero no abiertos;

N^{c}

$\mathbb N^c$ y el intervalo

(0, 1)

$(0,1)$ están abiertos pero no cerrados; el intervalo

(0, 1]

$(0,1]$ no es ni abierto ni cerrado.

Respuestas (2)

Problemas para entender por qué los números naturales no están abiertos

Como un espacio métrico con la métrica usual, $\Bbb N$ es discreto Eso hace que cada subconjunto de $\Bbb N$ (por supuesto, incluyéndose a sí mismo) está abierto (y cerrado al mismo tiempo).
Hay una distinción entre no abierto y cerrado . con lo habitual $d(m,n)=|m-n|$ métrica en $\mathbb N$ , cualquier conjunto es a la vez cerrado y abierto
Su falacia es tratar el "conjunto abierto" como una noción absoluta, independiente de cualquier espacio métrico. En cambio, "subconjunto abierto" es una noción definida en relación con un espacio métrico particular del cual el conjunto dado es un subconjunto. Entonces es posible para uno y el mismo conjunto, por ejemplo $\mathbb N$ , para ser un subconjunto abierto de un espacio, por ejemplo, de $\mathbb N$ mismo, y ser un subconjunto no abierto de otro espacio, por ejemplo, de $\mathbb R$ .
@LeeMosher Por supuesto, olvidé que en la definición de bola abierta se incluye la métrica específica. Gracias, ahora lo entendí!
Mientras tanto para cualquier conjunto $S$ y cualquier métrica en $S$ , ambos $S$ y $\emptyset$ son tanto abiertos como cerrados. por ejemplo en $\mathbb R$ y la métrica habitual, $\mathbb R$ y y $\emptyset$ son los únicos conjuntos tanto abiertos como cerrados; $\mathbb N$ y el intervalo $[0,1]$ están cerrados pero no abiertos; $\mathbb N^c$ y el intervalo $(0,1)$ están abiertos pero no cerrados; el intervalo $(0,1]$ no es ni abierto ni cerrado.

lee mosher · Answer 1

Convertiré mi comentario en una respuesta.

Su falacia es tratar el "conjunto abierto" como una noción absoluta, independiente de cualquier espacio métrico.

En cambio, "subconjunto abierto" es una noción definida en relación con un espacio métrico particular del cual el conjunto dado es un subconjunto. Entonces es posible para un mismo conjunto, por ejemplo $\mathbb N$ , para ser un subconjunto abierto de un espacio tal como $\mathbb N$ mismo, y ser un subconjunto no abierto de otro espacio como $\mathbb R$ .

Robar · Answer 2

Para ampliar la respuesta anterior, considere el ejemplo $x_0 = 3$ , $r = 0.5$ . Si se considera como un subconjunto de $\mathbb N$ , entonces $B(r, x_0) = \{3\}$ es un subconjunto abierto de $\mathbb N$ . Pero si se considera como un subconjunto de $\mathbb R$ , entonces $B(r, x_0) = (2.5, 3.5)$ que es un intervalo abierto incontable que contiene todos los puntos entre 2.5 y 3.5, y no es un subconjunto de $\mathbb N$ .

Todo es relativo al espacio principal. Si $X$ es un espacio métrico entonces

B (r, X_{0}) = {X \in X : d (X, X_{0}) < r}

$B(r, x_0) = \{x \in X : d(x,x_0) < r\}$

es la definición de la bola abierta de radio $r$ centrado en $x_0$ en $X$ . Observe que la bola contiene todos los puntos de $X$ que son una distancia $r$ de $x_0$ . Así que para un subconjunto $A\subseteq X$ para tener un punto interior, debe contener una bola abierta de $X$ .

Cualquier subconjunto puede considerarse "abierto" con respecto a sí mismo (es decir, en la topología heredada), pero esto es diferente de ser un subconjunto abierto de $X$ .

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nipohc88

Hagen von Eitzen

Enrique

lee mosher

nipohc88

Enrique

Respuestas (2)

lee mosher

Robar

Demuestre que AAA es denso si y solo si cualquier conjunto abierto no vacío en XXX tiene una intersección con AAA

¿Mostrar que este conjunto AAA es cerrado, acotado y no compacto?

problema 4, cap. 4 en Baby Rudin: una imagen continua de un subconjunto denso es denso en el rango.

Si cada métrica en un conjunto X es equivalente a la métrica discreta, ¿podemos decir que X es un conjunto finito?

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