¿Cuál es la compactación real de la línea real?

La compacidad real es una propiedad poco conocida de los espacios topológicos; por lo general, no aparece en los cursos elementales de topología.

Citaré algunos de los resultados en el párrafo 3.11 del trabajo estándar de Engelking (en mi humilde opinión, muy bueno) Topología general (edición revisada y completa) . Gilman y Jerrison también lo cubren en Anillos de funciones continuas .

La forma "interna" de definirlo no es muy difícil, pero algo técnica y explica su nombre (al menos la parte compacta):$X$es realcompacto si es Tychonoff (es decir, Hausdorff completamente regular) y cada ultrafiltro en el conjunto de subconjuntos funcionalmente cerrados de$X$que tiene la propiedad de intersección contable tiene intersección no vacía.

(Un subconjunto de$X$es funcionalmente cerrado si es de la forma$f^{-1}[\{0\}]$para algunos continuos$f:X \to \Bbb R$, estos conjuntos forman un poset ordenado por inclusión y un filtro en él es una familia de subconjuntos funcionalmente cerrados que se cierra bajo intersecciones finitas y superconjuntos y no contiene$\emptyset$; un ultrafiltro es un filtro máximo (por inclusión); todo como de costumbre. La compactación Cech-Stone tiene como puntos esencialmente todos los ultrafiltros en los conjuntos funcionalmente cerrados).

De esto se sigue fácilmente que cualquier espacio regular de Lindelöf es realcompacto, por lo que$\Bbb R$es demasiado.

Una forma externa de ver la propiedad:$X$es real compacto iff$X$es homeomorfo a un subespacio cerrado de$\Bbb R^I$(para algún conjunto de índices$I$, en la topología del producto). Esto hace obvio que todos los productos conservan la compacidad real (como la compacidad) y la heredan los subespacios cerrados (también como muchas propiedades de compacidad). Además, trivialmente (de esta manera) todos$\Bbb R^I$los espacios, incluidos los propios reales, son realescompactos.

La formulación del punto 1 está más en la línea de lo que dirían Gilman y Jerrison (en términos del anillo de funciones continuas en$X$). Podría extenderme sobre eso si tienes algo de experiencia en la teoría, de lo contrario nos llevaría un poco por mal camino.

La compactación real (Hewitt)$\nu X$de$X$es el subconjunto máximo de$\beta X$tal que todo continuo$f:X \to \Bbb R$tiene una extensión (única por supuesto) a$\nu X$. Si$X$ya es realcompacto esto es igual$X$por supuesto.$\beta \Bbb R$es realmente difícil de describir, como dijiste, pero$\nu \Bbb R=\Bbb R$es fácil.

La propiedad es bastante natural si observa el anillo de funciones continuas (de valor real).$C(X)$, así como la compactación de Cech-Stone surge de forma bastante natural:$\beta X$es el espacio compacto tal que$C^\ast(X)$(las funciones continuas acotadas de valores reales) y$C(\beta X)$son anulares isomorfos y$\nu X$tiene la propiedad de que$C(\nu X)$y$C(X)$son anulares isomorfos.

El hecho "$X$es compacto si es contablemente compacto y Lindelöf" tiene un buen paralelo en "$X$es compacto Hausdorff si es realcompacto y pseudocompacto" (como también menciona la página de Wikipedia ).