Funciones continuas de NN\Bbb{N} a NN\Bbb{N} en la topología "co-pequeña"

En una publicación relacionada, pregunté sobre la topología "co-pequeña" en$\Bbb{N}$. Una de las preguntas era sobre la caracterización de las funciones continuas a partir de$\Bbb{N}$a sí mismo en esta topología. Algunos ejemplos de funciones continuas incluyen$f(n) = an + b$,$f(n) = \lfloor n^p \rfloor$para$0 < p \leq 1$, la función de conteo primo$f(n) = \pi(n)$; algunas funciones que no son continuas serían$f(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$,$f(n) = p_n$(el$n$th prima),$f(n) = \lfloor e^{\sqrt{\ln n}} \rfloor$.

Otros usuarios han dado resultados parciales. Ben muestra que si$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$es continuo y$f(A)$es pequeño para cualquier conjunto grande$A$, entonces$f$es constante Greg Martin muestra que si$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$satisface$\lim_{n \to \infty} f(n)/n = \infty$en cualquier conjunto grande$A$, entonces$f$debe mapear algún gran subconjunto de$A$a un conjunto pequeño, y por lo tanto no puede ser continuo en esta topología. Creo que estoy preparado para dar una caracterización de qué tan rápido o lento es una función continua no constante$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$puede crecer:

(Propuesto) Teorema. Una función$f$de$\Bbb{N}$a sí mismo es continuo en la topología co-pequeña iff solo si existen constantes positivas$M, p$tal que:

1. $f(n) \leq Mn$para todos menos un pequeño conjunto de enteros positivos$n$;

2. $f(n) \geq n^p$para todos menos un pequeño conjunto de enteros positivos$n$.

La respuesta de Greg Martin se despacha de (1), y la respuesta de Ben implica que$f(n) \to \infty$excepto posiblemente en un pequeño conjunto de enteros positivos$n$(los conjuntos finitos son pequeños, por lo que la preimagen de cualquier conjunto finito bajo una función continua no puede ser grande). Mi respuesta para la última parte se basa en pensar, por ejemplo,$f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$contra$f(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$.

Para$f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$, para cualquier entero$k$,

OTO, por$f(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$, para cualquier entero$k$,

Pregunta: ¿Es cierto que para cualquier$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$, si$1/k = o(\sum_{n \in f^{-1}(k)} \frac{1}{n})$en un gran conjunto de enteros positivos$k$, eso$f$asigna un conjunto grande a un conjunto pequeño? Y, si esto no es equivalente a (2) anterior, ¿qué es un contraejemplo explícito?

He tratado de demostrar la equivalencia anterior, pero me está costando dar una solución con total generalidad. Cualquier ayuda sería apreciada. ¡Gracias!

Editar: Hanul ha demostrado que las condiciones anteriores no son suficientes para establecer la continuidad. ¿Son necesarios?