¿Esta declaración implica que el conjunto está abierto en RR\mathbb{R}?

En Topología de la línea real, ¿$(i)$implica que el conjunto A es abierto? Si es así, ¿puedes darme alguna intuición?

$(i)$- Dejar$A$ser un conjunto. Me caigo$a \in A$y toda secuencia real$(x_n)$tal que$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a$, entonces existe$n_0 \in \mathbb{N}$tal que$\{x_n: n\geq n_0\} \subseteq A$.

¿Qué he probado?

Dado que cualquier sucesión convergente st$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a$, entonces para todos$\varepsilon >0$,$\exists N \in \mathbb{N}$st para todos$n\geq N$tenemos:

$$x_n \in (a-\varepsilon, a + \varepsilon)$$

pero esto no implica$(a-\varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq A$. si elijo$\varepsilon = |x_{n_0}|$, entonces podemos concluir que$(a-|x_{n_0}|, a +|x_{n_0}|) \subseteq A$, para$n\geq N$?

Esto puede parecer trivial para la mayoría de ustedes, pero estoy comenzando un Curso de Topología y todavía estoy aprendiendo las primeras definiciones. ¡Gracias!