Topología del espacio de fase

voy a probar este

Un sistema hamiltoniano es (totalmente) integrable, lo que significa que hay$n$($n=$número de dimensiones) integrales de movimiento independientes (tenga en cuenta que los sistemas hamiltonianos completamente integrables son muy raros, casi todos los sistemas hamiltonianos no son completamente integrables ).

Lo que esto establece en esencia (e intuitivamente) es que el sistema hamiltoniano de dimensión$n$se puede descomponer en un producto cartesiano de un conjunto de$n$subsistemas independientes (por ejemplo, en representación de ángulo de acción) que están mínimamente acoplados entre sí.

Esta descomposición en un producto cartesiano de$n$sistemas independientes (cada uno de los cuales tiene energía acotada ya que todo el sistema tiene energía acotada), significa que topológicamente es el$n$-toro dimensional$S^1 \times S^1 \times ... \times S^1$($n$factores) que es compacto (el sistema acotado es topológicamente compacto).

Nota $S^1$, literalmente significa círculo topológico o topológico$1$-esfera dimensional . Lo que significa es que representa (dado que esto es topología y no geometría) un espacio unidimensional compacto y acotado (espacio de 1 parámetro). Entonces, un sistema hamiltoniano con$n$parámetros independientes (integrables) es (debería ser, localmente) topológicamente el producto cartesiano de$n$(resumen)$S^1$espacios ($1$para cada parámetro/dimensión)

Cada$S^1$el espacio representa un oscilador armónico simple (un sistema periódico simple, o en otras palabras, un sistema que se mueve en un círculo, vea la conexión con$S^1$espacios).

Cuando un sistema hamiltoniano (completamente) integrable se descompone en$n$subsistemas independientes, en esencia esto significa que (localmente, en cada vecindad de un punto del espacio de fase del sistema) se puede linealizar y representar como una pila de osciladores armónicos (independientes) (pilas de$S^1$espacios). Este es el teorema básico de Liouville-Arnold sobre la dinámica hamiltoniana

Para ver un ejemplo simple de un sistema hamiltoniano tridimensional (en realidad bidimensional, ya que el espacio de configuración es la superficie de una esfera) que es completamente integrable, consulte el péndulo esférico y su análisis.

El péndulo esférico es un sistema de 2 dimensiones (por lo tanto, el espacio de fase es de 4 dimensiones) y tiene una segunda integral de movimiento, el momento alrededor del eje vertical .

(un enlace a un análisis más avanzado sobre la dinámica de pendula ).

En otras palabras, el todo es solo la suma de sus partes .

¿Cuál sería el espacio hamiltoniano de a (por ejemplo$2$-dimensional) sistema cuyas dimensiones no son independientes (no integrables).

Esto significa que las dimensiones están correlacionadas y no se pueden descomponer en subsistemas independientes (es decir, un$2$-toro dimensional$S^1 \times S^1$), por lo que topológicamente es un$2$-esfera dimensional ($S^2$).

en un$2$-esfera dimensional la$2$las dimensiones están correlacionadas y no se pueden hacer planas (es decir, no se pueden linealizar y mapear en un espacio plano de la misma dimensión, a diferencia de un$2$-toro dimensional, es decir, tiene lo que se denomina curvatura intrínseca).

Desarrollando un poco sobre esto.

Por supuesto, si uno ve el toro bidimensional como un objeto 3D (en efecto, esto significa incrustado en un espacio euclidiano 3D plano), tiene curvatura. Esto se conoce como curvatura "externa" derivada de la incrustación en un espacio 3D. Pero si uno ve el toro de 2 dim como una superficie de 2 dimensiones en sí misma, no tiene curvatura (cero). Esto se conoce como curvatura (intrínseca) (en el sentido riemanniano).

Si uno toma el toro de 2 dim y lo corta y lo despliega, obtiene el cilindro de 2 dimensiones. Si se corta más el cilindro de 2 dimensiones y se despliega, se obtiene una superficie plana de 2 dimensiones. Esto significa que la curvatura (intrínseca) del toroide de 2 dimensiones es cero y se puede representar en un espacio plano de la misma dimensión .

Para la esfera de 2 dim, esto no es posible . No hay forma de que se pueda cortar y mapear en una superficie plana de la misma dimensión . Tiene una curvatura (intrínseca) distinta de cero y esta también es una medida que se aleja de la planitud (y también una medida de correlación de dimensiones). Un ejemplo son los mapas de la tierra (superficie esférica bidimensional) en un papel plano, uno puede ver que el mapa contiene distorsiones, ya que no hay un mapeo de una esfera en una superficie plana.

Por otro lado, si uno toma una superficie plana de 2 dim y hace que un límite sea periódico, obtiene un cilindro de 2 dim, si además hace que el otro límite también sea periódico, obtiene el toro de 2 dim.

En general, las condiciones bajo las cuales cualquier sistema hamiltoniano dado es (completamente) integrable es un problema muy difícil .

Otra forma más de ver esto es una analogía con los espacios de probabilidad. Considere 2 espacios de eventos de 2 sistemas físicos que constan de 2 parámetros (digamos 2 monedas)$\Omega_{12}$y$\Omega_{AB}$.

Cuando el sistema es integrable (es decir, los parámetros son independientes , lo que significa$P(1|2) = P(1)$) entonces el espacio del evento$\Omega_{12}$es el producto cartesiano de cada subespacio$\Omega_1 \times \Omega_2$. Y cada resultado del sistema total es solo el producto de las probabilidades de cada subsistema.

Ahora considere un segundo sistema donde las monedas están correlacionadas, lo que significa$P(A|B) \ne P(A)$.

este espacio$\Omega_{AB}$ no se puede descomponer en 2 subespacios independientes$\Omega_A$,$\Omega_B$como su producto cartesiano ya que los subespacios no son independientes . Esto corresponde a un sistema hamiltoniano no integrable (y un sistema topológico$2$-d esfera).

El análogo de la independencia estadística en espacios de eventos de probabilidad para sistemas hamiltonianos es exactamente la existencia e independencia funcional (más correctamente poisson) del número apropiado de integrales de movimiento (integrabilidad completa).

En otras palabras , para un sistema no integrable, el todo es más que la suma de sus partes .

Espero que esto sea útil para ti.

PD. También puede consultar: Sistema holonómico, Sistema no holonómico , Sistema integrable

El teorema de Liouville Arnol establece que dado un sistema hamiltoniano integrable y denotando con

$$M_a'=\{(q,p)\in\Gamma:f_i(q,p,t)=a_i\}$$ el componente conexo de los conjuntos de nivel de todos los de la primera integral, entonces la restricción de la forma fundamental en $M_a'$ $$p\cdot dq\Big|_{M_a'}$$ igual $dS(q,a)$dónde $S$es el funcional generador de la transformación canónica $^\dagger$ $\mathscr{C}:(q,p)\mapsto(b=\partial_aS,a)$, es decir, esa transformación tal que el hamiltoniano transformado depende de nuevos momentos solo $$H\circ\mathscr{C}^{-1}(b,a)=H(q,\partial_qS)=K(a).$$ De este modo $\mathscr{C}$mapea su sistema inicial en uno para el cual la dinámica es realmente fácil de hecho del nuevo hamiltoniano obtener $$\begin{array}{ccc}\dot{b}&=&\partial_aK\\\dot{a}&=&-\partial_bK=0.\end{array}$$ Si $M_a'$es compacto entonces nuestras variables dinámicas $(b,a)$se puede pensar como un ángulo $\varphi$en un toro marcado por una acción constante $I$. En este caso las soluciones de las ecuaciones anteriores son $$\begin{array}{cccc}\varphi(t)&=&\varphi_0+\partial_IKt&=\varphi_0+\omega_0t\\I(t)&=&I_0&=const.\end{array}$$ $\dagger$Una forma de definir una transformación canónica del sistema ''antiguo'' $(q,p,H,t)$al ''nuevo'' $(Q,P,K,T)$, es pedir que $\mathscr{C}$conserva la forma Poicare-Cartan 1 $$dA=p\cdot dq-Hdt$$ en el sentido de que $A_{old}=cA_{new}+\Delta F(q,Q,t)$. De esto sigue fácilmente eso $\partial_qF=p$, $\partial_QF=-P$y $\partial_tF=K-H$, luego realizando la transformación de Legendre de $F$uno obtiene $S=F+P\cdot Q$y el último conjunto de ecuaciones se convirtió en $\partial_qS=p$, $\partial_PS=Q$y $\partial_tS=K-H$. La última ecuación es la llamada ecuación de Hamilton-Jacobi.