La inspiración para la geometría simpléctica provino de la mecánica hamiltoniana. Sin embargo, me pregunto qué tan cerca están los lazos entre las variedades simplécticas arbitrarias y los sistemas físicos reales.
En particular, tengo entendido que las variedades simplécticas generalmente de interés para los físicos son paquetes cotangentes de espacios de configuración (pero soy matemático, así que corríjame aquí si esto no es correcto). Sin embargo, no toda variedad simpléctica es un paquete cotangente (por ejemplo, la 2-esfera o el toro).
Pregunta: Para cualquier variedad simpléctica dada , ¿existe un sistema mecánico clásico que tenga como su espacio de fase?
También serían útiles ejemplos particulares de variedades simplécticas de haces no cotangentes correspondientes a sistemas mecánicos reales.
Hay muchos ejemplos de espacios de fase singular de sistemas mecánicos cuando existe la posibilidad de bloqueo, lo que significa que en ciertas regiones del espacio de configuración, no todos los grados de libertad están disponibles. Estos espacios ni siquiera son variedades, mucho menos paquetes cotangentes, aunque son paquetes localmente cotangentes (como todas las variedades simplécticas). La dinámica en ellos es bastante interesante. Por ejemplo, puede preguntar si termodinámicamente es probable que se bloqueen o desbloqueen.
es el espacio de fase de un sistema mecánico si podemos encontrar un campo escalar suficientemente regular en . Porque si existe, podemos definir el flujo hamiltoniano asociado a través de
Entonces el problema ahora es si dada la variedad simpléctica siempre podemos encontrar al menos un campo escalar diferenciable no trivial definido en él para que sirva como hamiltoniano.
una mente curiosa
qmecanico
matemático errante