Espacio de fase con topología de toro

Aquí hay un artículo que analiza la cuantización del espacio de fase del toro. En particular, en la ecuación (24), consideran exactamente las funciones base que consideró. En la sección 4, en particular las ecuaciones 33 y 34, muestran que la representación ingenua de esta álgebra en L^2(T^2) tiene una subrepresentación de dimensión finita que da la cuantificación física.

Por cierto, y dado que tenía la otra pregunta sobre Chern-Simons, esta teoría del toro cuántico es exactamente la misma que en la teoría de representación del "método de la órbita" de los grupos de Lie, donde uno ingenuamente tiene un módulo de Verma de dimensión infinita, pero un irrep de dimensión finita se separa de él cuando tienes un peso integral , que en el caso del toro corresponde a un toro con forma simpléctica integral. En el artículo de Witten sobre QFT y el polinomio de Jones se utiliza una conexión entre los dos para insertar perforaciones en el espacio de Hilbert.

En particular, mientras que la incertidumbre de Heisenberg parece implicar que un espacio de fase compacto tiene un número finito de estados, también necesita que el volumen del espacio de fase sea exactamente un múltiplo entero de$\hbar^n$, dónde$2n$es la dimensión del espacio de fase, de lo contrario suceden cosas extrañas y no físicas, como que sus módulos Verma nunca se cierran. Este fenómeno es exactamente el motivo por el cual los observables terminan siendo cuantificados.

De acuerdo, según una intensa solicitud, revisaré algunos hechos estándar sobre el álgebra de Moyal, resumidos en nuestro artículo (1990) y mi charla en la conferencia Tahoe de 1989 . No estoy seguro de que hagan lo que buscas, y ciertamente no entran en las sutilezas de la cuantización geométrica, los polinomios de Jones o las teorías de Morse. Sólo hechos formales básicos y primitivos.

A partir de sus modos de Fourier en el toro, para el entero m , n ,

$$W_{m,n}=e^{im\phi + in\theta},$$ usamos el plano ("Moyal")$\star$-producto introducido por Groenewold, con$\hbar\mapsto 2k$,$x\mapsto \phi$,$p \mapsto \theta$, para definir el operador pseudodiferencial $$\mathfrak {W}_{m,n}=\frac{1}{2ik}W_{m,n} \star ~~.$$

Proporciona una realización del álgebra de Moyal Lie de dimensión infinita,

$$[\mathfrak {W}_{m,n} \mathfrak {W}_{m',n'}]= \frac{\sin k(mn'-nm')}{k} ~\mathfrak {W}_{m+m,n+n'} ~.$$

Si, por alguna razón, uno se enfoca en k s especiales,

$$k=2\pi/N ,$$ donde N es un número entero (tómalo como número principal para evitar preguntas y problemas), observa que los índices enteros de las constantes de estructura identifican el módulo N ; por lo que podemos identificar los índices enteros m , n con sus correspondientes (que difieren en un múltiplo entero de N ) dentro de un retículo fundamental entero N×N alrededor del origen. Además,$\mathfrak {W}_{0,0}$y sus correspondientes no aparecen en el lado derecho y conmutan con el resto, por lo que los descartamos.

El plegamiento de los generadores correspondientes, ad infinitum, da como resultado una subálgebra de dimensión finita de este álgebra de Moyal,

$${\cal W}_{m,n}\equiv\sum_{s,t} \mathfrak {W}_{m+Ns,n+Nt}~,$$ donde hemos sumado todos los números enteros s y t , ¡ejem!, para producir generadores de "promedio de celosía"... Hay formas menos sórdidas de arreglar eso, pero el campo se ha estado agitando durante más de un cuarto de siglo, ahora... Estoy seguro de que las reseñas de Wootters y Vourdas cubrirían esas cosas adecuadamente.

Dejé la física fuera, precisamente porque los argumentos topológicos son sutiles, pero, de nuevo, entendí la solicitud como las declaraciones básicas "si, entonces", y lo anterior aquí es una maniobra estándar. N acaba de salir de un sombrero, el sombrero de física de alguien, evitado enérgicamente aquí.

Pero el punto es este álgebra de la$\cal{W}$s, con las mismas constantes de estructura, es ahora un álgebra de dimensión finita$N^2-1$, y no debería ser una sorpresa que incluye todas las álgebras de Lie clásicas, mejor vistas en la base de matriz de reloj y desplazamiento de Sylvester de 1867 . La representación fundamental es N × N matrices que actúan sobre N -vectores. El gran límite de N , con normalizaciones adecuadas de los generadores, da como resultado el álgebra de corchete de Poisson, como una contracción del de Moyal, pero eso probablemente está fuera de lugar.