¿Existe un sistema físico cuyo espacio de fases sea el toro?

Question

¿Existe un sistema físico cuyo espacio de fases sea el toro?

Física
topología
espacio de fase
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

joshfísica

NOTA. Esta no es una pregunta sobre matemáticas y, en particular, no es una pregunta sobre si se puede dotar al toroide de una estructura simpléctica.

En una respuesta a la pregunta

¿Qué tipo de variedad puede ser el espacio de fases de un sistema hamiltoniano?

Afirmé que existen (en un sentido matemático) sistemas hamiltonianos en el toro (y, de hecho, también en superficies de género superior). Sin embargo, cuando me presionaron para encontrar un sistema físico en el mundo real (incluso uno idealizado) cuya dinámica pudiera modelarse como un sistema hamiltoniano en el toro, no pude pensar en uno.

¿Existe tal sistema?

Incluso estaría satisfecho con un sistema no clásico que de alguna manera puede ser descrito efectivamente por un sistema hamiltoniano en el toro, aunque no estoy seguro de que el OP de la otra pregunta a la que me vinculé anteriormente lo sea.

qmecanico

Comentario a la pregunta (v1): ¿Toro en cuántas dimensiones? Solo 2 dimensiones

S^{1} \times S^{1}

$S^1\times S^1$ ? De todos modos, el

2 n

$2n$ -toro

(S^{1})^{2 n}

$(S^1)^{2n}$ puede estar dotado de una estructura simpléctica global de la manera obvia.

yuggib

¿ Quizás sistemas de billar ? Recuerdo que pueden estar modelados en toros, pero no estoy completamente seguro...

gatsu

Puede que me esté malinterpretando, pero vivir en un toroide ¿no es la especificidad de cualquier sistema integrable?

usuario10001

Relacionado: ¿cuáles son algunos ejemplos de mecánica con una estructura simplécica globalmente no genérica?

pppqqq

Bueno, un ejemplo obvio es el espacio de fase del péndulo doble,

S^{1} \times S^{1} = T^{2}

$S^1\times S^1=T^2$ ...

joshfísica

@Qmechanic y todos los demás. Tenga en cuenta que NO estoy haciendo una pregunta matemática.

joshfísica

@pppqqq Ese no es el espacio de fase del péndulo doble, ese es su espacio de configuración.

joshfísica

@yuggib Hmmm, gracias. Esa es una sugerencia interesante, aunque definitivamente no me queda claro cómo funcionarían esos ejemplos. En particular, el problema que veo es que el momento canónico de un billar (al menos en coordenadas cartesianas) no es periódico.

yuggib

@joshphysics pegas billares para definir la trayectoria, y el vector de velocidad permanece constante... mira la figura en la página 7 y la discusión al respecto.

nikos m.

¿Qué tal un péndulo simple, con una fuerza no lineal y no continua actuando sobre él? ¿No es posible tener un término de fuerza tal que haga que la cantidad de movimiento resida en un intervalo cerrado periódico?

[a, b]

$[a, b]$ ? Entonces la posición generalizada estará en

S^{1}

$S^1$ y el impulso generalizado en

S^{1}

$S^1$ y el espacio de fase será el 2-torus

S^{1} \times S^{1}

$S^1 \times S^1$

joshfísica

@NikosM. Si puede hacer que los detalles de esa construcción funcionen, ¡estaría impresionado y muy interesado!

nikos m.

@joshphysics, sí, es cierto, trabajaré en ello. Intuitivamente, debería ser posible dado un término de fuerza adecuado, dado que la pregunta era sobre un sistema físico de ejemplo (plausible), aún será necesario resolver algunas de las matemáticas.

Respuestas (5)

¿Existe un sistema físico cuyo espacio de fases sea el toro?

Comentario a la pregunta (v1): ¿Toro en cuántas dimensiones? Solo 2 dimensiones $S^1\times S^1$ ? De todos modos, el $2n$ -toro $(S^1)^{2n}$ puede estar dotado de una estructura simpléctica global de la manera obvia.
¿ Quizás sistemas de billar ? Recuerdo que pueden estar modelados en toros, pero no estoy completamente seguro...
Puede que me esté malinterpretando, pero vivir en un toroide ¿no es la especificidad de cualquier sistema integrable?
Relacionado: ¿cuáles son algunos ejemplos de mecánica con una estructura simplécica globalmente no genérica?
Bueno, un ejemplo obvio es el espacio de fase del péndulo doble, $S^1\times S^1=T^2$ ...
@Qmechanic y todos los demás. Tenga en cuenta que NO estoy haciendo una pregunta matemática.
@pppqqq Ese no es el espacio de fase del péndulo doble, ese es su espacio de configuración.
@yuggib Hmmm, gracias. Esa es una sugerencia interesante, aunque definitivamente no me queda claro cómo funcionarían esos ejemplos. En particular, el problema que veo es que el momento canónico de un billar (al menos en coordenadas cartesianas) no es periódico.
@joshphysics pegas billares para definir la trayectoria, y el vector de velocidad permanece constante... mira la figura en la página 7 y la discusión al respecto.
¿Qué tal un péndulo simple, con una fuerza no lineal y no continua actuando sobre él? ¿No es posible tener un término de fuerza tal que haga que la cantidad de movimiento resida en un intervalo cerrado periódico? $[a, b]$ ? Entonces la posición generalizada estará en $S^1$ y el impulso generalizado en $S^1$ y el espacio de fase será el 2-torus $S^1 \times S^1$
@NikosM. Si puede hacer que los detalles de esa construcción funcionen, ¡estaría impresionado y muy interesado!
@joshphysics, sí, es cierto, trabajaré en ello. Intuitivamente, debería ser posible dado un término de fuerza adecuado, dado que la pregunta era sobre un sistema físico de ejemplo (plausible), aún será necesario resolver algunas de las matemáticas.

qmecanico · Answer 1

Considere una partícula sin masa no relativista con carga $q$ en un toro 2D

\begin{matrix} (1) & X \sim X + L_{X}, y \sim y + L_{y}, \end{matrix}

$\tag{1} x ~\sim~ x + L_x , \qquad y ~\sim~ y + L_y,$

en un campo magnético constante distinto de cero $B$ a lo largo de $z$ -eje.

Localmente, podemos elegir un vector potencial magnético

\begin{matrix} (2) & A_{X} = \partial_{X} Λ, A_{y} = B X + \partial_{y} Λ, \end{matrix}

$\tag{2} A_x ~=~ \partial_x\Lambda, \qquad A_y ~=~ Bx +\partial_y\Lambda,$

dónde $\Lambda(x,y)$ es una función de calibre arbitraria. Localmente, el Lagrangiano (que codifica la fuerza de Lorentz) se da como

\begin{matrix} (3) & L = q (A_{X} \dot{X} + A_{y} \dot{y}) = q B X \dot{y} + (derivada del tiempo total) . \end{matrix}

$\tag{3} L~=~ q ( A_x\dot{x} + A_y\dot{y})~=~qB~x\dot{y}+ \text{(total time derivative)}.$

[El término cinético ordinario $T=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$ está ausente desde la misa $m=0$ . Esto implica que la frecuencia característica del ciclotrón del sistema es infinita.] Los momentos de Lagrange son

\begin{matrix} (4) & {pags}_{X} = \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} = A_{X}, {pags}_{y} = \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} = A_{y} . \end{matrix}

$\tag{4} p_x ~=~ \frac{\partial L}{\partial\dot{x} }~=~A_x, \qquad p_y ~=~ \frac{\partial L}{\partial\dot{x} }~=~A_y.$

ecuación (4) se convierte en restricciones de segunda clase , de modo que las variables $p_x$ y $p_y$ puede ser eliminado. El soporte de Dirac no es degenerado en el $xy$ -sector:

\begin{matrix} (5) & {y, X}_{D B} = \frac{1}{q B} . \end{matrix}

$\tag{5} \{y,x\}_{DB}~=~\frac{1}{qB}.$

[Alternativamente, esto se puede ver usando el método de Faddeev-Jackiw .] En otras palabras, las dos coordenadas periódicas $x$ y $y$ convertirse en variables canónicas entre sí con la correspondiente forma simpléctica de dos

\begin{matrix} (6) & ω_{D B} = q B d X \land d y . \end{matrix}

$\tag{6} \omega_{DB}~=~qB ~\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y.$

El hamiltoniano correspondiente $H=0$ desaparece Las ecuaciones clásicas. de movimiento

\begin{matrix} (7) & \dot{X} = 0 = \dot{y} \end{matrix}

$\tag{7} \dot{x}~=0~=\dot{y}$

implicar una partícula congelada.

+1: Solo un punto menor: matemáticamente uno puede considerar partículas sin masa no relativistas. Pero tales partículas no se encuentran en la naturaleza.
Esta respuesta debe entenderse dentro del marco de la mecánica newtoniana no relativista (donde una partícula sin masa no se limita a moverse con la velocidad de la luz, sino que es simplemente una idealización conveniente).
@Qmechanic Gracias por el enlace sobre el método Faddeev-Jackiw. En una nota tangencial, ¿conocería alguna buena referencia sobre sistemas hamiltonianos restringidos además de Henneaux y Teitelboim? Encuentro que su presentación es bastante impenetrable.
@joshphysics: Como aperitivo e introducción, puede disfrutar leyendo PAM Dirac, Lectures on QM, 1964. Más allá de eso, es difícil recomendar una sola fuente tan completa como Henneaux & Teitelboim.
@Qmechanic Ya veo, sí, no pude encontrar nada más después de mucho buscar. También he leído a Dirac; desafortunadamente, me resulta extremadamente difícil leer ambos tratamientos. Sus matemáticas no son particularmente precisas, pero más allá de eso, encuentro que la lógica es deficiente. Tal vez debería escribir una secuencia de preguntas de SE que inevitablemente responderá y que servirán como su propio recurso para aquellos que comparten mi frustración :)
Este ejemplo parece un poco trivial, ya que la partícula no se puede mover. Puede usar todo tipo de maquinaria matemática sofisticada para describir la dinámica trivial de una partícula inamovible, pero hacerlo parece bastante artificial. Si alguien te pregunta "¿Cuál es la geometría del espacio de fase para una partícula inmóvil?", seguramente la respuesta natural sería "un solo punto" y no "un toro".

ryan thorngren · Answer 2

$U(1)$ La teoría de Chern-Simons con un espacio (físico) de dos toros es un ejemplo. Su espacio de fase son las clases de equivalencia de calibre de conexiones planas en el 2-torus. Estos están especificados por las holonomías alrededor de dos ciclos de 1 que forman una base de $H_1(T^2)$ . Esto es, por supuesto, un toro de 2 $U(1) \times U(1)$ . Debido a la forma de la acción de Chern-Simons, estas variables son de hecho conjugadas y el volumen simpléctico del espacio de fase es igual al nivel de Chern-Simons.

Sospecho que solo habrá ejemplos "topológicos" como este, ya que un espacio de fase compacto generalmente implica un espacio de Hilbert de dimensión finita (por la incertidumbre de Heisenberg). Si un sistema tiene observables cuánticos locales, entonces el espacio de Hilbert es automáticamente de dimensión infinita, ya que la ubicación del observable es medible.

¡Esta teoría se realiza realmente en nuestra realidad como la teoría efectiva de largo alcance de ciertos sistemas de salas cuánticas! (Por supuesto, debemos considerar la teoría de largo alcance para deshacernos de los observables locales como los correladores de electrones).

Buen ejemplo, pero ¿hay algún sistema en el mundo real cuya dinámica real pueda ser modelada por este tipo?
Solo teorías efectivas de largo alcance como las que menciono. Por cierto, no conozco ninguna teoría con superficies de género superior como espacio de fase...
Mis disculpas. De alguna manera me perdí ese último párrafo.
@Ryan ¿Cómo vemos que el espacio de módulos de las conexiones planas U (1) en un toro de 2 es en sí mismo un toro de 2? Dado que hay 4 ciclos de homología con una relación entre ellos, parece que la dimensión del espacio debería ser tres en lugar de dos. ¿Puedes señalar lo que me estoy perdiendo?
H_1 es Z más Z. Las conexiones planas son mapas de esto a U(1).
Sí, pero normalmente el espacio de las conexiones planas se define como $(\pi_{1}(\Sigma)\to G)/G$ es decir, espacio de homomorfismos de grupo desde el primer grupo fundamental hasta G, cociente por conjugación. Dado que U(1) es abeliano, la conjugación es trivial. Por otro lado, los mapas del grupo fundamental de 2-torus a U(1) son tridimensionales.
Oh, lo siento, estaba confundiendo 2-torus con doble-torus, es decir, género 2-superficie. Gracias.

garyp · Answer 3

En la física del estado sólido, a la mayor parte de un cristal se le suelen dar condiciones de contorno periódicas para evitar el complicado problema de qué hacer en la terminación del cristal. Así que el cristal es todo a granel, sin superficie. Esto resulta ser una muy buena aproximación a la mayor parte de un cristal real. También le da al sólido la topología de un 3-torus.

Esto es muy interesante, y mi amigo teórico de la materia condensada ya sugirió algo como esto, pero no es la topología espacial de un sistema lo que me interesa. Estoy buscando un sistema cuya dinámica se pueda modelar como un sistema hamiltoniano cuyo espacio de fase es un toro.
@joshphysics Ups, leí demasiado rápido. Soy reacio a pronunciarme sobre el espacio de fase, pero es posible que la respuesta sea sí , ya que el espacio recíproco generado por el potencial periódico también es periódico.

stafusa · Answer 4

Un ejemplo podría ser el Mapa estándar , que puede verse como una descripción del rotor Kicked . Aunque debe quedar claro que uno está usando la simetría del espacio de fase para describir la dinámica como si estuviera en un toro (en lugar de en un cilindro).

El rotor “ consiste en un palo libre de la fuerza de la gravedad, que puede girar sin fricción en un plano alrededor de un eje situado en una de sus puntas, y que periódicamente es pateado en la otra punta ”.

_{https://en.wikipedia.org/wiki/File:Std-map-0.6.png}

Levitt · Answer 5

Un oscilador 2D isotrópico, cuando se toma en variables de ángulo de acción al hacer una transformación canónica del hamiltoniano,

H (q_{1}, {pags}_{1}, q_{2}, {pags}_{2}) = \frac{q_{1}^{2}}{2 metro} + \frac{k q_{1}^{2}}{2} + \frac{q_{2}^{2}}{2 metro} + \frac{k q_{2}^{2}}{2}

$H(q_1, p_1, q_2, p_2 ) = \frac{q_1^2}{2m} + \frac{kq_1^2}{2} + \frac{q_2^2}{2m} + \frac{kq_2^2}{2}$ producirá dos constantes del movimiento, las acciones y dos ángulos que van de 0 a

2 π

$2\pi$ que genera un toro. No estoy del todo seguro del proceso de hacer la transformación, pero esto es lo que encontré recientemente cuando estaba aprendiendo física clásica.

Comentario a la respuesta (v1): tenga en cuenta que las dos variables de ángulo Poisson conmutan, es decir, la estructura de Poisson en el sector del toro de ángulo es cero.

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