Conectividad en el espacio de fases

En primer lugar, arreglamos la configuración general.

Dejar$M$sea ​​el espacio de fases, asumo que todas las estructuras que describo en lo sucesivo son$C^\infty$(a$C^2$Hamiltonian sería bastante suficiente para muchos problemas en realidad,$C^3$para la validez del teorema de Liouville).

El flujo hamiltoniano $\Phi$se define como sigue.

$$I_a \ni t \mapsto \Phi_t(a) \in M$$ es la solución máxima de las ecuaciones de Hamilton con condición inicial$\Phi_0(a) = a \in M$y el intervalo abierto$I_a\subseteq \mathbb{R}$es el dominio temporal (máximo) de esa solución. Por lo tanto, el dominio de$(t,a) \mapsto \Phi_t(a)$es $$\Gamma := \bigcup_{a\in M} I_a \times \{a\} \subseteq \mathbb{R} \times M\:.$$ Es posible probar que$\Gamma$Esta abierto. Finalmente, a partir del teorema de unicidad para la solución de ecuaciones de evolución, el grupo de un parámetro de relaciones de difeomorfismos locales es válido, $$\Phi_0(a) = a\:, \quad \Phi_t(\Phi_u(a)) = \Phi_{t+u}(a)\tag{1}$$ esto último es cierto para$t,u\in \mathbb{R}$y$a\in M$tal que el lado izquierdo está definido.

Ahora considere un ``volumen''$V\subset M$, es decir, un subconjunto conexo abierto . En general, no hay garantía de que su evolución$V_t:= \Phi_t(V)$se define para todos$t\in \mathbb R$. Sin embargo, utilizando el hecho de que$\Gamma$es abierta, se prueba fácilmente que, si$V$es un vecindario suficientemente pequeño (abierto conectado) de un estado$a$y$|t| <T$, para alguna constante suficientemente pequeña$T>0$, entonces$\Phi_t(V)$está bien definido y abierto.

El mapa$\Phi_t : V \to \Phi_t(V)=:V_t$es diferenciable ad admite$\Phi_{-t}: V_t \to V$como inversa. Dado que ambos mapas son derivables, son a fortiori continuos. Por lo tanto, son homeomorfismos entre$V$a$V_t$y así conservan todas las propiedades topológicas.

En particular,$V_t$esta conectado si$V$está conectado (en realidad para probarlo es suficiente que$\Phi_t$es continuo, pero aquí también se conservan todas las propiedades topológicas).

Observaciones finales.

1. En algunos casos físicamente relevantes$\Gamma = \mathbb{R} \times M$de modo que el último en (1) es válido para cada$a\in M$y todo$t,u\in \mathbb{R}$y$\Phi_t:M \to M$es un difeomorfismo global. Las condiciones suficientes para asegurarlo son que toda solución máxima de las ecuaciones de Hamilton$\gamma : I_a \to M$se incluye en un conjunto compacto (que puede depender de la solución)$K_\gamma \subseteq M$. Ese es el caso si, por ejemplo, el hamiltoniano no depende estrictamente del tiempo y sus conjuntos de niveles son compactos. En estos casos no existen restricciones sobre$V$y$t$definir$V_t$.

2. El teorema de Liouville no tiene nada que ver con la preservación de la conectividad, ya que lo que dije anteriormente es cierto para todo sistema dinámico, incluso en una variedad.$M$con dimensión impar , donde no es posible una formulación hamiltoniana (en el sentido de formulación simpléctica).